limes superior = leere Menge

15.01.2013, 11:36

sugarfree

limes superior = leere Menge

Meine Frage:
Hallo ich hab da nur mal eine Verständnisfrage:
Wenn der Limes superior einer Reihe = die leere Menge ist
ist dann die Menge selbst auch leer?

Meine Ideen:
intuitiv: ja, aber Mathe hat nicht immer was mit Intuition zu tun

15.01.2013, 11:43

HAL 9000

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"Limes superior einer Reihe" ? verwirrt

Redest du vom Limes Superior der zugehörigen Partialsummenfolge einer reellen Reihe? Das ist jedoch eine reelle Zahl oder $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , aber gewiss keine leere Menge. verwirrt

15.01.2013, 11:51

sugarfree

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Es soll gezeigt werden, dass die Konvergenz der Reihe der P(An) nicht
notwendig für P(A) = 0 ist:
Finden Sie Ereignisse An mit
$\begin{eqnarray*} \sum P\left(A_{n} \right) = \infty \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim sup A_{n} = \emptyset \end{eqnarray*}$

das ist die original Aufgabe und hab mich halt nun gefragt: wenn der lim sup An= leere Menge ist, ob An dann auch leer ist

15.01.2013, 11:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von sugarfree
Finden Sie Ereignisse An mit
$\begin{eqnarray*} \sum P\left(A_{n} \right) = \infty \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim sup A_{n} = \emptyset \end{eqnarray*}$

Danke für die nunmehr richtige Aufgabenstellung, die du im Eröffnungsbeitrag völlig entstellt hattest. unglücklich

Zitat:

Original von sugarfree
wenn der lim sup An= leere Menge ist, ob An dann auch leer ist

Nein, das muss nicht sein. Ein Beispiel für Mengen natürlicher Zahlen:

$\begin{eqnarray*} A_n = \{n, n+1, n+2, \ldots\} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ enthält alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \geq n \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} A_n = \emptyset \end{eqnarray*}$ .

15.01.2013, 20:29

sugarfree

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Danke Hall 9000!
Ist dann folgender Beweis richtig geführt? Wäre lieb wenn du oder jemand anderes mal drüber schauen kann.

Betrachte $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Omega= \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathcal E = \left\{ Borelmengen\right\} \end{eqnarray*}$ und der Gleichverteilung.

Für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiere: A_{n}:= $\begin{eqnarray*} \left(0,\frac{1}{n} \right] \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} P\left(A_{n} \right) =\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

somit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n\in \mathbb N }P\left(A_{n} \right) = \sum\limits_{n\in \mathbb N}\frac{1}{n} =\infty \end{eqnarray*}$

Wir wissen:

lim sup $\begin{eqnarray*} A_{n}:= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ es gibt unendlich viele n mit $\begin{eqnarray*} x\in A_{n} \end{eqnarray*}$ }
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow A= \bigcap_{m\in\mathbb N }\bigcup_{n\geq m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow A= \bigcap_{m\in\mathbb N }\bigcup_{n\geq m} = \bigcap_{m\in\mathbb N }\bigcup_{n\geq m}\left(0,\frac{1}{n} \right] = \bigcap_{m\in\mathbb N } \left(0,\frac{1}{n} \right] = \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ lim sup $\begin{eqnarray*} A_{n}=\emptyset \end{eqnarray*}$

15.01.2013, 21:04

Che Netzer

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Abgesehen von Notationsproblemen, die in

Zitat:

Original von sugarfree
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow A= \bigcap_{m\in\mathbb N }\bigcup_{n\geq m} \end{eqnarray*}$

ihren Höhepunkt finden, stimmt das Beispiel. D.h. Wahrscheinlichkeitsraum und Ereignisse sind passend gewählt.

15.01.2013, 21:09

sugarfree

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Danke für deine schnelle Rückmeldung.
Könntest du auf das Notationsproblem näher eingehen, ich lern nämlich nie aus verwirrt

15.01.2013, 21:14

sugarfree

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das mit dem Äquivalenzfall stimmt natürlich, der hat da nix zu suchen

15.01.2013, 21:17

Che Netzer

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Zitat:

Original von sugarfree
Betrachte $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$

Kein Kommentar.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Omega= \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathcal E = \left\{ Borelmengen\right\} \end{eqnarray*}$ und der Gleichverteilung.

Hier hätte ich $\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ als Borel-Sigma-Algebra bezeichnet anstatt $\begin{eqnarray*} \{\text{Borelmengen}\} \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

Zitat:

Wir wissen:

lim sup $\begin{eqnarray*} A_{n}:= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ es gibt unendlich viele n mit $\begin{eqnarray*} x\in A_{n} \end{eqnarray*}$ }

Zumindest ich persönlich nutze $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ nur dann, wenn wirklich "genau jetzt" etwas definiert wird, nicht um Definitionen wiederzugeben.
Wenn ihr diese Darstellung des Limes Superior habt, könntest du auch direkt über $\begin{eqnarray*} \tfrac1n\to0 \end{eqnarray*}$ weiterargumentieren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow A= \bigcap_{m\in\mathbb N }\bigcup_{n\geq m} \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? Und welche Mengen werden rechts vereinigt?
Und nun könnte man sich darüber streiten, ob eine Aussage äquivalent zu einer Definition sein kann.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow A= \bigcap_{m\in\mathbb N }\bigcup_{n\geq m} = \bigcap_{m\in\mathbb N }\bigcup_{n\geq m}\left(0,\frac{1}{n} \right] = \bigcap_{m\in\mathbb N } \left(0,\frac{1}{n} \right] = \emptyset \end{eqnarray*}$

Gleiches Proble wie oben. Außerdem sollte es am Ende $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Nenner heißen.

15.01.2013, 21:32

sugarfree

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Uuuppps, da gab es wirklich einige Verwechslungen und ein wenig Vergessen beim Schreiben mit Latex. Ich arbeite dran, bin in der Latexnutzung noch ein Frischling.

Sorry, danke für deine Ausführung. Du hast mir gerade sehr geholfen!

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