Euklidischer VR Aufgabe (Isomophismus)

15.01.2013, 11:39	Sanguinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Euklidischer VR Aufgabe (Isomophismus) Sei (V, ( , )) ein Euklid. VR mit dim V kleiner unendlich. Für v aus V sei $\begin{eqnarray} f_v: V -> K \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} f_v(v`) = (v,v`) \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} f_v \in V^v \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} F: V -> V^v \end{eqnarray}$ die Abbildung definiert durch $\begin{eqnarray} F(v) = f_v \end{eqnarray}$ . F ist linear. Aufgabe: Zeigen Sie, dass F ein Isomorphismus ist. Z.z: F ist bijektiv. 1. Injektivität: $\begin{eqnarray} F(v_1) = F(v_2) => v_1^` = v_2^` \end{eqnarray}$ ist zu zeigen. Es ist $\begin{eqnarray} F(v_1) = f_{v_1} = (v,v_1^`) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(v_2) = f_{v_2} = (v,v_2^`) \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} (v,v_1^`)= (v,v_2^`) <=> v_1^` = v_2^` \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ konstant ist. Ist das richtig so? 2. Surjektivität: Hier weiß ich leider nicht wie ich ansetzen soll. Ich bin irgendwie verwirrt.

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