Herleitung der Jordannormalform

15.01.2013, 13:15	Ikarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Jordannormalform Hallo alle zusammen! Ich höre zurzeit eine Vorlesung zu Algebra und Zahlentheorie und verstehe leider die Hinführung zur Jordannormalform nicht. Daher habe ich doch einige Fragen und hoffe, dass zumindest ein paar davon geklärt werden können. Bestenfalls natürlich alle 1. Lemma: Für festes $\begin{eqnarray} A \in M(n,K) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} K[X]-Modul \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} K[X] \times K[X] -> K^n, (f,v) -> f(A)v. \end{eqnarray}$ Aus der $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ -Modulstruktur erhält man $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zurück durch $\begin{eqnarray} K^n->K^n,v->xv \end{eqnarray}$ Könnt ihr mir dazu ein Beispiel nennen? Ich verstehe nicht, wie ich daraus wieder die Matrix bekommen soll! 2. Lemma: $\begin{eqnarray} U \subset K^n \end{eqnarray}$ UR ist $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ -UM gdw. $\begin{eqnarray} A(U) \subset U, U \neq 0 \end{eqnarray}$ Wie kann ich mir $\begin{eqnarray} A(U) \end{eqnarray}$ vorstellen? [...] 3. Bemerkung: $\begin{eqnarray} ker(\phi_A)=<p_A> \end{eqnarray}$ Hauptideal erzeugt von $\begin{eqnarray} p_A \end{eqnarray}$ , dem Minimalpolynom. Es gilt $\begin{eqnarray} p_Av=0 \forall v \in K^n \end{eqnarray}$ Warum gilt diese letzte Bedingung? Und was ist das Minimalpolynom? Könnt ihr mir da ein greifbares Beispiel nennen? Und warum ist das Minimalpolynom gleich dem größten Elementarteiler? 4. Lemma: $\begin{eqnarray} \xi_A \end{eqnarray}$ zerfalle in Linearfaktoren. Dann ist $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ -Modul eine direkte Summe $\begin{eqnarray} K^n=U_1 \oplus ... \oplus U_k \end{eqnarray}$ zyklischer UM $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_i=K[X]/<(X-\lambda_i)^r_i>, \xi_A=Product((X-\lambda_i)^r_i,i) \end{eqnarray}$ Beweis: Smith-Normalform für $\begin{eqnarray} XE-A \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (nur eben $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ ), $\begin{eqnarray} d_i \neq 0 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ Torsionsmodul, mit chin. Restsatz: $\begin{eqnarray} K^n=U_1 \oplus ... \oplus U_k \end{eqnarray}$ , U_i = K[X]/<p_i^r_i> mit p_i prim. prim=irreduzibel in HIR, also $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ . Bis hier hin ist alles okay, aber dann: Damit: $\begin{eqnarray} Product((X-\lambda_i)^r_i,i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_1 ... d_r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = det(D) = \xi_A . \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \xi_A \end{eqnarray}$ in Linearfaktoren zerfällt, müssen die $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ von der Form $\begin{eqnarray} X-\lambda_i \end{eqnarray}$ sein. Also: Was sind die $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray*}$ ? Und warum gilt, dass das Produkt der Primfaktoren gleich dem Produkt der Elementarteiler ist? Und hat es eine besondere Bedeutung, wenn in der Smith-Normalform keine Einheiten drinstehen? Ich weiß, es sind viele Fragen, aber ich schreibe in etwa einem Monat Klausur und ich möchte das gut hinbekommen. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Vielen Dank schonmal im Voraus! Liebe Grüße Ikarus PS: Ich hatte eben schon mal versucht, einen Beitrag zu editieren, weil ich aus Versehen auf Thema erstellen gekommen bin, leider ging das nicht mehr, sodass es dieses Thema jetzt quasi 2mal gibt. Das tut mir wirklich leid, habe auch versucht, den alten Beitrag zu löschen, ging aber auch nicht.
15.01.2013, 15:10	Ikarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Ergänzung: Kann mir jmd erklären wie die Einsen auf der Nebendiagonale entstehen? In unserem Skript steht dazu: $\begin{eqnarray} A v_{i,j} = \lambda_i * v_{i,j} + v_{i+1,}, j=0,...,r_{i-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A * v_{i,r_{i-1}} = \lambda_i * v_{i,r_{i-1}} \end{eqnarray}$ Aber wieso weiß ich dann, dass das dazugehörige Jordankästchen genau so aussehen muss, wie es aussieht? Also die $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray*}$ auf der Diagonale und auf der Nebendiagonalen lauter Einsen? Es wäre echt toll, wenn mir das jmd erklären könnte. Verzweifel hier etwas. Ich kann alle Rechenaufgaben und die meisten Beweise verstehe ich, aber hier setzt es komplett aus, weiß auch nicht wieso.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »