Vermischte Grenzwerte

15.01.2013, 15:23

StevenSpielburg

Vermischte Grenzwerte

Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe, bzw. zu diesem Aufgabentyp.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} 2^{\frac{1}{x-1} } \end{eqnarray*}$

wobei der limes von unten gegen die 1 läuft (konnte ich nicht darstellen hier)

Wie gehe ich an solch eine Aufgabe heran? bzw. wie kann ich diese lösen?

15.01.2013, 15:36

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{\substack{x \to 1\\ x<1 }} 2^{\frac{1}{x-1}} \end{eqnarray*}$ kannst du darstellen mit \lim_{\substack{x \to 1\\ x<1 }} 2^{\frac{1}{x-1}}.

Oder $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} 2^{\frac{1}{x-1}} \end{eqnarray*}$ mit \lim_{x \nearrow 1} 2^{\frac{1}{x-1}}.

Du kannst erstmal überlegen, was der Grenzwert des Exponenten ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{x-1} = - \infty. \end{eqnarray*}$ .

Außerdem gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} 2^{\frac{1}{x-1}}= \lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{2^{-\frac{1}{x-1}}} \end{eqnarray*}$ . Da geht der Exponent jetzt gegen $\begin{eqnarray*} +\infty. \end{eqnarray*}$ Und jetzt überleg mal, was dann mit dem Nenner passiert und was mit dem gesamten Bruch passiert.

15.01.2013, 16:01

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

okay das habe ich verstanden, danke für die schnelle antwort
ich habe noch eine Aufgabe wo ich noch nicht genau weiß wie
diese funktionieren soll...hier mal die aufgabe

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow \frac{\pi }{4} } 3^{tan2x} \end{eqnarray*}$
allerdings von oben gegen pi/4

15.01.2013, 16:09

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow \frac{\pi}{4} } 3^{tan(2x)} \end{eqnarray*}$ geht mit \lim_{x \searrow \frac{\pi}{4} } 3^{tan(2x)}.

Ich denke mal, n in den Exponenten müssen Klammern.
Du überlegst wieder, welchen Grenzwert der Exponent hat: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow \frac{\pi}{4}} tan(2x)=-\infty \end{eqnarray*}$ . Und dann ist das analog zu dem vorherigen Beispiel.

15.01.2013, 16:44

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay die leuchten mir ein die Aufgaben, ich komme nur immer nicht auf den Ansatz. Zum Beispiel bei dieser Aufgabe...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin(x) ) }{x} \end{eqnarray*}$

jetzt würde ich im zähler sehen, wenn ich gegen 0 laufe, dass ich dort 0 stehen hätte und mi nenner auch.
Wahrscheinlich muss ich durch erweiterung oder sonstiges anfangen?

15.01.2013, 17:43

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier könnte man die Regel von L'-Hospital anwenden. Die besagt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren oder bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ divergieren.

Hier ist $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(sin(x)) \end{eqnarray*}$ , und das konvergiert gegen 0. $\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ , das konvergiert gegen 0. Also kann man die Regel anwenden.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(sin(x))}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{(sin(sin(x)))'}{x'}=\lim_{x \to 0} \frac{cos(sin(x))\cdot cos(x)}{1}=1. \end{eqnarray*}$

16.01.2013, 15:47

StevenSpielburg

Auf diesen Beitrag antworten »

l'Hopital dürfen wir leider nicht benutzen, total nervig weil manche aufgaben damit deutlich einfacher zu lösen wären. Wie könnte denn eine Lösung ohne l'Hopital aussehen?

16.01.2013, 16:26

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wird folgender Lösungsweg vogeschlagen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(sin(x))}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{sin(sin(x))\cdot sin(x)}{sin(x)\cdot x}=\lim_{x \to 0} \frac{sin(sin(x))}{sin(x)} \cdot\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(sin(x))}{sin(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{sin(t)}{t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t=sin(x),\ \lim_{x \to 0} t=0. \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(sin(x))}{x}=\lim_{t \to 0} \frac{sin(t)}{t}\cdot\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=1\cdot 1=1. \end{eqnarray*}$

Aber:
Erstens musst du jetzt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$ ist (ohne l'-Hospital).

Zweitens:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(sin(x))\cdot sin(x)}{sin(x)\cdot x}=\lim_{x \to 0} \frac{sin(sin(x))}{sin(x)} \cdot\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

Ich bn mir nicht sicher, ob man diese Umformung so machen kann. Man kann zwar die Grenzwerte einzeln berechnen und dann multiplizieren, aber das geht im Allgemeinen nur beim Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty. \end{eqnarray*}$ Das sieht man z.B. an diesem Beispiel: $\begin{eqnarray*} 0 = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \right) ?=? \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}=\infty - \infty. \end{eqnarray*}$ Und das muss nicht unbedingt 0 ergeben. Bei dem Beispiel stimmt also das = zwischen den Fragezeichen nicht, man kann die Grenzwerte nicht erst einzeln berechnen und dann subtrahieren.
Bei dem Grenzwert, den du berechnen willst, klappt diese Umformung zwar, aber das ist nicht immer so. Also lieber nicht verwenden.

Also hat diese Berechnung auch noch ein paar "Fehler", mir fällt aber auch nichts Besseres ein.

16.01.2013, 16:41

qwert-Taste

Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(...zwerts.C3.A4tze
Natürlich sollten diese auch erst gezeigt werden, bevor man sie verwendet.

Neue Frage »

Antworten »

Vermischte Grenzwerte

Verwandte Themen