Erwartungswert Betrag logX

15.01.2013, 15:25

sbh

Erwartungswert Betrag logX

Meine Frage:
X Zufallsvariable > 0 mit Dichte f. Von f weis man:
1.) f ist in einer Umgebung um die 0 beschränkt
2.) $\begin{eqnarray*} \exists \alpha > 0 , c > 0 : f(x) \leq \frac{c}{x^{1+\alpha}} \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} E|log X| = E(log X)_{{}-{}} + E(log X)_{{}+{}} < \infty \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zuerst teile ich den Erwartungswert auf in Positivteil [1,inf) und den Negativteil (0,1]. Der Positivteil lässt sich dann dank der 2.) Bedingung an f nach oben durch ein endliches Integral abschätzen.
Was mir aber zu schaffen macht ist der Negativteil. Das f beschränkt ist ist da glaube ich keine große Hilfe, da das doch allgemein für Dichten gelten muss. Und ohne weiter Bedingungen an f wüsste ich auch nicht wie ich das Integral abschätzen kann.

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen smile

Danke

15.01.2013, 15:52

HAL 9000

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Schreiben wir es doch mal direkt auf: Es ist

$\begin{eqnarray*} E(\ln(X))_- = \int\limits_0^1 (-\ln(x))f(x) ~ \dd x \leq K\cdot \int\limits_0^{\varepsilon} (-\ln(x)) ~ \dd x ~+~ (-\ln(\varepsilon))\cdot \int\limits_{\varepsilon}^1 f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

falls $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ die obere Schranke von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\varepsilon] \end{eqnarray*}$ ist. Und das hilft doch schon enorm.

Zitat:

Original von sbh
Das f beschränkt ist ist da glaube ich keine große Hilfe, da das doch allgemein für Dichten gelten muss.

Großer Irrtum - das muss durchaus nicht gelten, Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot 1_{(0,1]}(x) \end{eqnarray*}$

15.01.2013, 16:22

sbh

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Danke

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