Integral mithilfe von Treppenfunktion berechnen

15.01.2013, 15:52

Lamiah

Integral mithilfe von Treppenfunktion berechnen

Aufgabe:
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^a x^2 dx, a>0 \end{eqnarray*}$ mithilfe von Treppenfunktionen. Hinweis: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Habe mit Treppenfunktionen noch ziemliche Probleme, also seid nicht zu hart zu mir. unglücklich

Vorüberlegung:
Unterteile [0, a] in n Teilintervalle mit der Intervallbreite $\begin{eqnarray*} \frac{a-0}{n} = \frac{a}{n} \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Untersumme $\begin{eqnarray*} U_n = \frac{a}{n} \left[ 0^2 + \left(\frac{a}{n}\right)^2 + \left(\frac{2a}{n}\right)^2 + ... + \left(\frac{(n-1)a}{n}\right)^2 \right] = \frac{a}{n} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left(\frac{ak}{n} \right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Idee:
Definiere $\begin{eqnarray*} t_n(k) := \left(\frac{ak}{n}\right)^2, k\in\{0,1, ..., n\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^a t_n(k) = \frac{a}{n} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left(\frac{ak}{n} \right)^2 = \frac{a^3}{n^3} \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{a^3}{n^3} \cdot \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} = a^3 \cdot \frac{2n^2 -3n +1}{6n^2} \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{a^3}{3}. \end{eqnarray*}$ . Das würde ich dann analog mit dem Oberintegral auch so machen.

Darf man das so machen?

15.01.2013, 15:54

Lamiah

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Die Treppenfunktion ist nicht richtig definiert. Moment.

Definiere $\begin{eqnarray*} t_n(k) := \left(\frac{a \lfloor k \rfloor}{n}\right)^2, k\in [0, a] \end{eqnarray*}$ .

15.01.2013, 16:57

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Lamiah
Die Treppenfunktion ist nicht richtig definiert. Moment.

Definiere $\begin{eqnarray*} t_n(k) := \left(\frac{a \lfloor k \rfloor}{n}\right)^2, k\in [0, a] \end{eqnarray*}$ .

was diese "Verbesserung" bringen soll, weiß ich nicht. Der Ansatz aus dem 1. Post war doch nicht soo schlecht. Du bist dann nur bei der Verbindung der k mit den x ins Schwimmen geraten. Deswegen hakt es hier auch, bei diesem seltsamen Integral

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^a t_n(k) = \frac{a}{n} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left(\frac{ak}{n} \right)^2 = \cdots \end{eqnarray*}$ .

Du musst die Treppenfunktion $\begin{align*} t_n(x) \end{align*}$ anders definieren. Wenn du unbedingt die floor-Funktion benutzen willst, dann strecke den Bereich [0,a] auf das Intervall [0,n] und wende dann darauf die floor-Funktion an. Also $\begin{eqnarray*} x\to \Big\lfloor\frac{nx}{a}\Big\rfloor \end{eqnarray*}$ . Du siehst: Bei x =0 ist das 0 und bei $\begin{align*} x=a_- \end{align*}$ ist das n-1 (bei x=a ist es n). Es gibt also genau n Stufen. Das ganze muss noch skaliert werden mit a/n. Damit wird die Treppenfunktion für die Untersumme:

$\begin{eqnarray*} t_n(x) := \frac{a^2}{n^2} \Big(\Big\lfloor\frac{nx}{a}\Big\rfloor \Big)^2 \end{eqnarray*}$

Für die Obersumme musst du statt floor die ceiling-Funktion benutzen, kein wesentlicher Unterschied, zumal im Limes n gegen Unendlich.

15.01.2013, 18:08

Lamiah

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Danke ,ich verstehe.

15.01.2013, 18:25

Lamiah

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Wie finde ich geeignete Treppenfunktionen für $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2013, 20:07

Lamiah

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Ah, hab's jetzt raus!