Stetige Fortsetzung und Funktionalgleichung

15.01.2013, 16:53

bZerk

Stetige Fortsetzung und Funktionalgleichung

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Mal wieder ist mir die Analysis ein Klotz am Bein! Folgende Aufgabe bekomme ich nicht gelöst (obwohl ich das Gefühl hab, dass sie ziemlich einfach ist Big Laugh

)

a) Es seien $\begin{eqnarray*} f,g: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen mit $\begin{eqnarray*} f(q) = g(q), \forall q \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass daraus folgt, dass sogar $\begin{eqnarray*} f(x) = g(x), \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

b) Es seien $\begin{eqnarray*} f,g: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen die den Funktionalgleichungen

$\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x) \cdot f(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x+y) = g(x) \cdot g(y), \forall x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ genügen.

Zeigen Sie, dass aus $\begin{eqnarray*} f(1) = g(1) > 0 \end{eqnarray*}$ schon folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = g(x), \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) Hier habe ich mir überlegt, dass man $\begin{eqnarray*} f(q) = g(q) \end{eqnarray*}$ auch schreiben kann als $\begin{eqnarray*} f(\frac{a}{b}) = g(\frac{a}{b}), a,b \in \mathbb Z, b \neq 0 \end{eqnarray*}$

Hilft mir das weiter?

b) Hier habe ich mir überlegt (und diese Überlegung wurde vom Prof schon als korrekt bewertet), dass ich die Aussage $\begin{eqnarray*} f(1) = g(1) > 0 \Rightarrow f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$ zunächst für $\begin{eqnarray*} x = n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , danach für $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und letztendlich für $\begin{eqnarray*} x = \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zeige. Und dann kann ich mithilfe von Aufgabenteil a) folgern, dass die Aussage auch $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt.

Nur ist jetzt die Frage: WIE zeige ich das? Mir fehlt bei sowas einfach immer der Ansatz. Über Anregungen wäre ich sehr dankbar!

Gruß

bZerk

15.01.2013, 19:34

Bakatan

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Zu a)
Ist bekannt, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen liegen? Formal $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ also der Abschluss von den rationalen Zahlen sind die reellen bzw in der Form in der wir es brauchen:
An jeder reellen Zahl liegen beliebig Nahe noch rationale Zahlen.

Dann Stetigkeit in Epsilon-Delta Form (kA ob ihr das direkt so definiert habt oder als Epsilon-Delta-Kriterium bewiesen habt oder ähnliches) ansehen und schauen, was das bedeutet.
Dazu noch ein kleiner Hinweis: Was kann man für eine Zahl folgern, wenn:
$\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R}^+_0,~\underset{\epsilon >0}{\forall} (a<\epsilon) \end{eqnarray*}$

Zu b)
Versuche erstmal ganz einfache Dinge und dann dich davon wie du beschrieben hast hoch zu hangeln. Fang mit $\begin{eqnarray*} f(2)=g(2) \end{eqnarray*}$ an, und schaue ob du erst einmal zu den natürlichen Zahlen kommst.

16.01.2013, 16:31

bZerk

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a) Uns wurde gesagt, dass hier die Delta-Epsilon Definition zur Stetigkeit unangebracht sei, wir sollen statt dessen mit der Folgenstetigkeit argumentieren. Hilft mir leider nicht weiter.

b) Hier hab ich den ersten Schritt mit hilfe einer vollständigen Induktion gezeigt

Also:

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} f(m) = g(m), m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} m = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(1) = g(1) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Vorraussetung

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} m \rightarrow m + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(m+1) = g(m+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(m) \cdot f(1) = g(m) \cdot g(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(m) = g(m) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(1) = g(1) \end{eqnarray*}$

Sehe ich das richtig, dass das allerdings jetzt nur der Beweis für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist? Und kann ich dann daraus schliessen, dass auch $\begin{eqnarray*} f(-m) = g(-m) \end{eqnarray*}$ ? Danach könnte man dann ja ganz leicht zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} f(0) = g(0) \end{eqnarray*}$ und somit wäre es $\begin{eqnarray*} \forall m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bewiesen, da $\begin{eqnarray*} \mathbb Z = \left\{-\mathbb N, 0, \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$

Danach ginge es dann weiter wie oben beschrieben, würde allerdings gerne erst wissen ob der erste Schritt den richtig ist.

16.01.2013, 18:14

qwert-Taste

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zu
a) Du betrachtes eine Folge, die gegen ein x, das nicht in den rationalen Zahlen liegt konvergiert. Dieser Folge musst du eine bestimmte Eigenschaft geben.
b)
Um die Eigenschaft für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, kannst du die additiven Inversen betrachten.

16.01.2013, 20:08

Bakatan

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Epsilon-Delta sollte genauso funktionieren, aber mit der Folgenstetigkeit ist es wohl noch kürzer (ich hatte das erste genommen, was passabel kurz war, allerdings ist es mit Folgenstetigkeit ein Einzeiler?)
Wie erwähnt, es gibt für jede reelle Zahl beliebig nahe noch rationale Zahlen, wähle also z.b. für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}\text{ (beliebig) }a_n\in\mathbb{Q},~|a_n-x|<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ (wenn diese Eigenschaft bekannt ist wie gesagt...)

Für negative Zahlen betrachte einmal $\begin{eqnarray*} f(1)=f(2-1)=f(2)\cdot f(-1)=f(1+1)\cdot f(-1)=f(1)\cdot f(1)\cdot f(-1) \end{eqnarray*}$
Dann kommst du relativ schnell zu dem was qwert gesagt hat (und die Null ist auch nicht mehr schwer). Dann noch die rationalen Zahlen und der Anwendung der a) steht nichts mehr im Wege Augenzwinkern

16.01.2013, 23:29

bZerk

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So also die b) hab ich jetzt soweit gelöst.

Zur a):

Hab mir jetzt noch mal genau unsere Definition von Folgenstetigkeit angeschaut. Die beiden Funktionen sind laut Voraussetzung stetig, also automatisch auch folgenstetig (haben wir auch alles in der Vorlesung schön bewiesen).

Ich hab also eine Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ die bei Betrachtung von $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen den Wert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Daraus folgt laut Definition von Folgenstetigkeit, dass aus

$\begin{eqnarray*} a_{n} \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(a_{n}) \rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ .

Sehe ich das richtig, dass aus $\begin{eqnarray*} a_{n} \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ automatisch auch folgt, dass $\begin{eqnarray*} g(a_{n}) \rightarrow g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ?

17.01.2013, 00:11

RavenOnJ

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Zitat:

Original von bZerk

Daraus folgt laut Definition von Folgenstetigkeit, dass aus

$\begin{eqnarray*} a_{n} \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(a_{n}) \rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ .

Du meinst wohl $\begin{align*} a_n\to x \end{align*}$ .

Zitat:

Sehe ich das richtig, dass aus $\begin{eqnarray*} a_{n} \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ automatisch auch folgt, dass $\begin{eqnarray*} g(a_{n}) \rightarrow g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ?

Wieder $\begin{align*} a_n\to x \end{align*}$ .

$\begin{align*} a_n\to x \Rightarrow g(a_n)\to g(x) \end{align*}$ gilt nur, wenn die Abbildung folgenstetig ist. Da $\begin{align*} f,g \end{align*}$ stetig sein sollen, sind sie auch folgenstetig. Man kann nun für jedes $\begin{align*} x\in \mathbb R\setminus \mathbb Q \end{align*}$ eine Folge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_n\in \mathbb Q \end{align*}$ wählen, sodass für $\begin{align*} n\to\infty: a_n\to x \end{align*}$ und für jede dieser Folgen gilt nach Vorausetzung $\begin{align*} f(a_n) = g(a_n) \end{align*}$ . Also muss auch $\begin{align*} f(x) = g(x) \end{align*}$ gelten.

17.01.2013, 13:55

bZerk

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Oh sry vertippt, $\begin{eqnarray*} a_{n} \rightarrow x \end{eqnarray*}$ ist natürlich gemeint. Danke für den Hinweis!

Ja cool, habs jetzt verstanden smile

Danke an alle für die Hilfe smile

17.01.2013, 17:19

bZerk

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Habs jetzt mal aufgeschrieben und würde gerne wissen ob das formal so korrekt ist smile

:

Geg.: $\begin{eqnarray*} f,q: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen

Vor.: $\begin{eqnarray*} f(q) = g(q), \forall q \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Z.z.: $\begin{eqnarray*} f(x) = g(x), \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Bew.: $\begin{eqnarray*} f,q: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f,q: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgenstetig

Sei nun $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} a_{n} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt

(i) $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty: a_{n} \rightarrow x \Rightarrow n \rightarrow \infty: f(a_{n}) \rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty: a_{n} \rightarrow x \Rightarrow n \rightarrow \infty: g(a_{n}) \rightarrow g(x) \end{eqnarray*}$

Da nach Voraussetzung gilt

$\begin{eqnarray*} f(q) = g(q), q \in \mathbb Q \Rightarrow f(a_{n}) = g(a_{n}), a_{n} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \xrightarrow{(i),(ii)} f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q.e.d \end{eqnarray*}$

17.01.2013, 20:39

RavenOnJ

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Dass es zu jedem $\begin{align*} x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb Q \end{align*}$ eine solche Folge $\begin{align*} (a_n),a_n\in\mathbb Q \end{align*}$ gibt, wäre vielleicht noch zu zeigen.

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