Verständnisproblem de Morgansche Regeln

15.01.2013, 17:31

Matheversteher

Verständnisproblem de Morgansche Regeln

Hallo

Ich sitze an folgender Aufgabe:
Seien X und Y Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray*} P\left\{ X\leq 0\right\} =\frac{1}{3}, P\left\{ Y\leq 0\right\} =\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P\left\{ X\leq 0, Y\leq 0\right\} =\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .
Berechnen sie $\begin{eqnarray*} P\left\{ X\leq 0, Y>0\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P\left\{ X> 0, Y> 0\right\} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle komme ich nun nicht wirklich weiter. Ist $\begin{eqnarray*} P\left\{ X\leq 0, Y\leq 0\right\} =\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} P\left\{ X\leq 0, Y>0\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P\left\{ X> 0, Y> 0\right\} \end{eqnarray*}$ als Schnitt der jeweiligen Wahrscheinlichtkeiten zu verstehen?

Sprich:
$\begin{eqnarray*} P\left\{ X\leq 0, Y\leq 0\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = P\left\{ A \cap B\right\} =\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
dementsprechend
$\begin{eqnarray*} P\left\{ X\leq 0, Y>0\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = P\left\{ A \cap B^c\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left\{ X> 0, Y> 0\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = P\left\{ A^c \cap B^c\right\} \end{eqnarray*}$
verwirrt

Das Ganze käme mir aber doch dann recht einfach vor oder ist die Aufgabe in der Tat so einfach?

Ich hoffe mir kann jemand sagen ob es so stimmt oder ob ich einen Fehler gemacht habe und mir erläutern wo der Fehler liegt. smile

15.01.2013, 17:38

Math1986

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RE: Verständnisproblem de Morgansche Regeln
Bis dahin alles richtig.

15.01.2013, 18:33

Matheversteher

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Also ich habe dann:

a.) $\begin{eqnarray*} P\left\{ X\leq 0, Y>0\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = P\left\{ A \cap B^c\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = P\left\{ A \right\} - P\left\{ A \cap B\right\} =\frac{1}{3}-\frac{1}{4} = \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} P\left\{ X> 0, Y> 0\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = P\left\{ A^c \cap B^c\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = P\left\{ A^c \right\} + P\left\{ B^c \right\} - P\left\{ A \right\} - P\left\{ B \right\} + P\left\{ A \cap B \right\}=\frac{11}{12} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so oder habe ich da was falsch gemacht? verwirrt

16.01.2013, 10:28

Math1986

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Ja, das stimmt soweit

16.01.2013, 11:23

Matheversteher

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Zitat:

Zitat
Ja, das stimmt soweit

Habe ich noch irgendwas vergessen?
Ansonsten danke ich dir für die Zeit die du dir genommen hast smile

16.01.2013, 13:55

Math1986

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Das war alles.

16.01.2013, 16:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matheversteher
b.) $\begin{eqnarray*} P\left\{ X> 0, Y> 0\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = P\left\{ A^c \cap B^c\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = P\left\{ A^c \right\} + P\left\{ B^c \right\} - P\left\{ A \right\} - P\left\{ B \right\} + P\left\{ A \cap B \right\}=\frac{11}{12} \end{eqnarray*}$

Damit bin ich nicht einverstanden. Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} P(X>0,Y>0) = P(A^c\cap B^c) = 1-P(A\cup B) = 1-P(A)-P(B)+P(A\cap B) = 1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4} = \frac{7}{12} \end{eqnarray*}$ .

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