Wahr oder Falsch - Stetige Funktionen

15.01.2013, 17:52

Knock^3-Penny

Wahr oder Falsch - Stetige Funktionen

Hallo ihr!
Ich sitze ein einer Aufgabe zu Grenzwerten/Stetigkeit. Nun habe ich alle Teile bis auf den letzten gelöst... Hier muss man nur mit Begründung entscheiden ob die Aussage WAHR oder FALSCH ist.

Die Aussage:
Seien f,g,h: $\begin{eqnarray*} (0,2) -> \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ Funktionen mit $\begin{eqnarray*} f(x) \leq g(x) \leq h(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (0,2) \end{eqnarray*}$ . Falls f und h stetig in x=1 sind mit f(1)=h(1), dann ist auch g in x=1 stetig.

Stetig ist mir noch nicht so ganz klar, aber...

Wenn f und h in x=1 stetig sind, heißt das doch, dass sie an der Stelle nur einen Wert annehmen und da f(1)=h(1), den gleichen.
Wenn jetzt g nicht in x=1 stetig ist: Dann hat g mehrere Werte für x=1. Aber im ersten Satz ist ja gegeben, dass: $\begin{eqnarray*} f(x) \leq g(x) \leq h(x) \end{eqnarray*}$ . Damit kann g(x) nur einen Werte annehmen, nämlich 1 und wäre damit stetig. Dann wäre f(1)=g(1)=h(1).
Also: Aussage WAHR?!

Macht das Sinn?

15.01.2013, 18:25

Bakatan

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RE: Wahr oder Falsch - Stetige Funktionen

Zitat:

Original von Knock^3-PennyWenn f und h in x=1 stetig sind, heißt das doch, dass sie an der Stelle nur einen Wert annehmen und da f(1)=h(1), den gleichen.
Wenn jetzt g nicht in x=1 stetig ist: Dann hat g mehrere Werte für x=1.

Nein, das hat mit Stetigkeit leider nichts zu tun. Suche am besten nochmal, was Stetigkeit bedeutet.

15.01.2013, 18:58

10001000Nick1

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RE: Wahr oder Falsch - Stetige Funktionen
Hallo!

Zitat:

Original von Knock^3-Penny
Wenn jetzt g nicht in x=1 stetig ist: Dann hat g mehrere Werte für x=1.

Ich kann dir zwar nicht wirklich weiterhelfen, aber diese Aussage kann nicht so ganz stimmen. Denn eine Funktion kann für einen x-Wert nicht mehrere Funktionswerte haben, egal ob stetig oder nicht. Denn dann wäre es ja gar keine Funktion.

Für Stetigkeit gibt es mehrere Definitionen. Ich probiers mal mit dem Epsilon-Delta-Kriterium: Wenn $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ stetig in x=1 sind, dann ist auch $\begin{eqnarray*} h(x)-f(x) \end{eqnarray*}$ stetig in x=1. Deshalb gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0\ \exists\delta_1>0:\ |(h(x)-f(x))-(h(1)-f(1))|=|h(x)-f(x)|=h(x)-f(x)<\epsilon\ (*) \quad\forall x\in\mathbb{R}\ mit\ |x-1|<\delta_1. \end{eqnarray*}$

Außerdem muss $\begin{eqnarray*} g(1)=f(1) \end{eqnarray*}$ sein. Angenommen, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ stetig. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0\ \exists\delta_2>0:\ |g(x)-g(1)|=|g(x)-f(1)|=g(x)-f(1)<\epsilon\ (**) \quad\forall x\in\mathbb{R}\ mit\ |x-1|<\delta_2. \end{eqnarray*}$

Wegen der Ungleichung $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ sieht man sofort, dass auch $\begin{eqnarray*} (**) \end{eqnarray*}$ gelten muss. Setzt man jetzt $\begin{eqnarray*} \delta_2:=max\{\delta_1,\delta_2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta_1:=max\{\delta_1,\delta_2\}, \end{eqnarray*}$ dann sieht man, dass auch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ stetig sein muss.

16.01.2013, 13:44

Knock^3-Penny

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RE: Wahr oder Falsch - Stetige Funktionen
Vielen Dank für eure Antworten!

Ich habe wirklich nicht so ganz verstanden was stetig heißt. Habs jetzt aber nochmal bei wikipedia nachgelesen, da ich in meinem Skript nichts brauchbares gefunden habe.

"Denn eine Funktion kann für einen x-Wert nicht mehrere Funktionswerte haben, egal ob stetig oder nicht. Denn dann wäre es ja gar keine Funktion." <= Da hast du Recht. Daran hatte ich gar nicht gedacht smile

Das mit dem Epsilon-Delta-Kriterium klingt für mich ganz gut, werde da nochmal in Ruhe drüber nachdenken.

Ich hatte gehofft, dass man auch einfacher begründen kann, warum die Aussage wahr ist...

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