Konvergenzverhalten eines Polynoms

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zeigerstunde Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzverhalten eines Polynoms
Meine Frage:
Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihe:


Meine Ideen:
Ist folgender Ansatz korrekt?
Wir haben hier eine alternierende Reihe vorliegen. Behandelt wird diese Reihe am besten also mit dem LEIBNITZ Kriterium.
Diese Reihe ist konvergent, wenn folgendes gilt:
1. Monoton fallend?
Ja, Sie ist monoton fallend, da b(n) > b(n+1) ist.
2. Es gibt eine Nullfolge.
Nein, um eine Nullfolge zu erhalten, müsste der obere Grad des Polynoms kleiner sein als der untere, ist er aber nicht.
Die Reihe ist divergent.
Stimmt das?
Danke für die Antwort!
lg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll dein sein? Wo siehst du zwei Polynome?
zeigerstunde Auf diesen Beitrag antworten »

es war ein wenig unglücklich ausgedrückt.
ist mein b(n).
Der Zähler hat einen höheren Grad als der Nenner.
Mathewolf Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Polynom vom Grad n hat die Form

, wobei die und

Wo sind da also Polynome?

Gut, interpretieren wir den Zähler mal als Polynom. Welchen Grad hätte es dann?
zeigerstunde Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathewolf
Gut, interpretieren wir den Zähler mal als Polynom. Welchen Grad hätte es dann?


1. Und das ist kleiner als 1/3.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeigerstunde
1. Und das ist kleiner als 1/3.


Also hat das konstante Polynom den Grad 1 und dann ist auch noch 1 < 1/3? geschockt

Klären wir zuerst mal die Begriffe: bei handelt es sich nicht um ein Polynom, daher ist es hier auch nicht sinnvoll, vom Grad des Polynoms zu reden. Trotzdem lässt sich der Grenzwert der Folge bestimmen.
 
 
zeigerstunde Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek


Also hat das konstante Polynom den Grad 1 und dann ist auch noch 1 < 1/3?

Klären wir zuerst mal die Begriffe: bei handelt es sich nicht um ein Polynom, daher ist es hier auch nicht sinnvoll, vom Grad des Polynoms zu reden. Trotzdem lässt sich der Grenzwert der Folge bestimmen.


ahh, sorry sorry sorry ^^ jetzt hab ich mich gerade vollkommen verzettelt.
Ganz allgemein gilt ja: Ist der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners, haben wir eine Nullfolge. Haben wir hier nicht.
Und nur das gilt für das Leibnitz Kriterium.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeigerstunde
Ist der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners, haben wir eine Nullfolge. Haben wir hier nicht.


Dann noch ein letztes Mal:

IM NENNER STEHT KEIN POLYNOM!

Und da im Nenner kein Polynom steht, kann man erst Recht nicht von einem Grad der Polynome sprechen. Und es ist trotzdem in der Tat so, dass eine Nullfolge ist.
zeigerstunde Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und wie komme ich dann darauf, dass dies eine Nullfolge ist?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir der Grenzwert noch nicht bekannt ist, lässt er sich etwa mit dem Sandwichlemma ganz gut nachweisen, man kann das hier aber auch noch über die Grenzwertdefinition gut machen.
manuel-2002 Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort Sandwich!

Versuch doch einfach mal zu zeigen:

qwert-Taste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von manuel-2002


Ich sags ja nur ungern, aber das kann man gar ned zeigen, höchstens widerlegen.
Wenn man 1 als Polynom interpretiert, dann hat des immer noch den Grad 0!
manuel-2002 Auf diesen Beitrag antworten »

Es haben jetzt schon mehrere Leute gesagt, aber ich sags gerne auch noch mal.
Hört doch endlich auf das als rationale Funktion zu sehen!

Der Divisor ist kein Polynom!!!

Warum kein "normales" Konvergenzkriterium nehmen, Monotoniekriterium, Majorantenkriterium oder eben das Sandwich-Theorem.


da sich "zwischen" den beiden anderen Funktionen befindet und diese gegen 0 konvergiern, konvergiert nach dem Sandwich-Theorem auch gegen 0
qwert-Taste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von manuel-2002




Ex falso quodlibet!
Eine Konstante kann man als Polynom vom Grad 0 interpretieren, ob des sinnvoll ist steht auf nem anderem Blatt.
manuel-2002 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ex falso quodlibet!
Eine Konstante kann man als Polynom vom Grad 0 interpretieren, ob des sinnvoll ist steht auf nem anderem Blatt.


Ich hab nie von der Konstanten geredet!?

Ich hab vom Divisor gesprochen, das ist der Nenner und:



ist kein Polynom!

Ich verstehe auch nicht was diese Diskussion soll da man hier mit dem Vergleich von Polynomgraden eh nicht weiter kommt.
qwert-Taste Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dein n größer wählen, sonst kriegst du ein Problem mit der Abschätzung nach unten.

Und ich hab lediglich den Threadersteller verbessert, nachdem zwar jeder gesagt hat unten steht kein Polynom, ihn aber neimand darauf hingewiesen hat, dass im Zähler nicht ein Polynom vom Grad 1 steht, sondern vom Grad 0.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was treibt ihr hier eigentlich? verwirrt

@qwert-Taste: Auf den Grad des konstanten Polynoms hatte Iorek schon hingewiesen.

Den Grenzwert von kann man auch schön über Grenzwertsätze zeigen, wenn man

benutzt – Monotonie und offensichtliche Beschränktheit nach unten durch Null liefern die Konvergenz, also ist obige Rechnung durchführbar.
Mal abgesehen davon, dass der bekannt sein sollte, wenn man schon mit Reihen zu tun hat (!)

Zur ursprünglichen Frage:
Leibniz schreibt sich zunächst einmal ohne t.
Und das Leibniz-Kriterium ist auch keine Äquivalenzaussage, d.h. wenn dessen Bedingungen nicht erfüllt sind, muss die untersuchte Reihe nicht divergieren.
Wenn die Summanden aber keine Nullfolge bilden, würde die Reihe natürlich divergieren, das hat aber nichts mit dem Leibniz-Kriterium zu tun.
manuel-2002 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von qwert-Taste
Du musst dein n größer wählen, sonst kriegst du ein Problem mit der Abschätzung nach unten.


Jap, da hast recht. Ich hätte gleich für fast alle n schreiben sollen Augenzwinkern Aber am Ergebnis ändert das nichts.



Zitat:
Und ich hab lediglich den Threadersteller verbessert, nachdem zwar jeder gesagt hat unten steht kein Polynom, ihn aber neimand darauf hingewiesen hat, dass im Zähler nicht ein Polynom vom Grad 1 steht, sondern vom Grad 0.


Sorry, ich hab des auf mein Post bezogen weil mein Zitat darüber stand.
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