Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?

15.01.2013, 20:25

donpain

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Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?

Guten Abend!

Ich habe mit folgender Aufgabe ein Problem.

Die Aufgabe:

Für jedes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||f_n||_\infty <\pi \end{eqnarray*}$ .
Ist dann f mit $\begin{eqnarray*} f(x)=sup\left\{f_n(x): n\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ ?

Mein Problem:
Ich bin ersteinmal davon ausgegangen, dass nicht die Stetigkeit von f folgt.

Mein Ansatz dies zu zeigen war, mir eine in [0,2] stetige Funktion f_n in Abhängigkeit von n zu definieren, für die zusätzlich $\begin{eqnarray*} sup|f_n| < \pi \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt. Und dann zeigen, dass f nicht stetig ist. Also quasi ein Gegenbeispiel konstruieren.

Nun scheitert es 1. daran, dass nicht weiß, wie ich die Funktion konstruieren könnte, sodass beide Bedingungen erfüllt sind und 2. daran, dass ich mir nichtmal sicher bin, ob ich nicht genau den falschen Weg gehe.

Für Hilfe wäre ich dankbar.

LIebe Grüße

15.01.2013, 20:46

Che Netzer

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Der Ansatz ist richtig, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss nicht stetig sein.
Du könntest das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ als Hinweis verstehen, dass es mit $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ klappt, die irgendwie mit Winkelfunktionen zu tun haben – du kannst aber auch andere suchen.

15.01.2013, 21:03

donpain

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Hey & danke für deine Antwort!

Das beruhigt mich schonmal, dass ich wenigstens den richtigen Weg eingeschlagen habe.

Das Problem ist nun, dass ich absolut keine Idee habe, wie ich mir eine solche Folge f_n von Funktionen zielführend konstruieren kann. Ich muss ja irgendwie das n in die Funktionsvorschrift integrieren, richtig?

$\begin{eqnarray*} f_n(x):=nsin(x) \end{eqnarray*}$ macht keinen Sinn, da für n groß genug das Supremum größer als Pi ist.
$\begin{eqnarray*} f_n(x):=sin(nx) \end{eqnarray*}$ funktioniert auch nicht. Da wenn man f darauf anwendet man für alle x aus den Reelen Zahlen 1 erhält, oder nicht? Sprich f wäre eine stetige Gerade.
Für $\begin{eqnarray*} f_n(x):= \frac{sin(x)}{n} \end{eqnarray*}$ wäre f auch stetig, richtig?

15.01.2013, 21:06

Che Netzer

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?

Zitat:

Original von donpain
$\begin{eqnarray*} f_n(x):=sin(nx) \end{eqnarray*}$ funktioniert auch nicht. Da wenn man f darauf anwendet man für alle x aus den Reelen Zahlen 1 erhält, oder nicht?

Nein

Augenzwinkern

15.01.2013, 21:45

donpain

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Okay.
Also, dann sage ich jetzt mal:

Sei $\begin{eqnarray*} f_n(x):=sin(nx) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist stetig in [0,2] und es gilt: $\begin{eqnarray*} ||f_n||_\infty <\pi \end{eqnarray*}$ .
Also sind alle Voraussetzungen erfüllt.

Nun ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} f(x):=sup\left\{f_n(x): n\in \mathbb N \right\} = sup\left\{sin(nx):n\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ ist nicht stetig.

Meine Idee war, für jedes x n so zu wählen, dass $\begin{eqnarray*} nx=\frac{\pi }{2}, \frac{5\pi }{2}, \frac{9\pi }{2},... \end{eqnarray*}$ gilt. Jetzt fällt mir natürlich auf (ist schon späääät Hammer

Hammer

) , dass diese Gleichung zB für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ garnicht lösbar ist, sprich es kein n gibt mit $\begin{eqnarray*} f_n(x\in \mathbb N)=1 \end{eqnarray*}$ . Soweit richtig?

Ich weiß jetzt also, dass f(x) = 1 nicht stimmt, aber mir fehlt immernoch die Idee, wie ich zeigen kann, dass f nicht stetig ist.

Grüße

15.01.2013, 21:47

Che Netzer

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Ich schätze, es gibt hier einfachere Beispiele.
Kannst du mit dem Arcustangens umgehen?

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15.01.2013, 21:54

donpain

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Eingeführt haben wir ihn in sofern, dass wir wissen, dass es die Umkehrfunktion vom Tangens ist. Und dass er von den reelen Zahlen nach [-1,1] abbildet.

15.01.2013, 21:57

Che Netzer

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Letzteres stimmt zwar nicht ganz (das Bild ist $\begin{eqnarray*} \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) \end{eqnarray*}$ ), aber suchen wir mal lieber eine andere Funktion.
Findest du eine passende Folge von Polynomen?

15.01.2013, 22:06

donpain

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?

Zitat:

Letzteres stimmt zwar nicht ganz (das Bild ist $\begin{eqnarray*} \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) \end{eqnarray*}$ ), aber suchen wir mal lieber eine andere Funktion.

Ups.

Hammer

Zitat:

Findest du eine passende Folge von Polynomen?

Ich wüsste nicht, wie ich die konstruieren könnte, sodass sie durch Pi beschränkt ist.

15.01.2013, 22:08

Che Netzer

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Lass dich nicht von dem Pi irritieren, Eins als Schranke genügt.

15.01.2013, 22:15

donpain

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Sei $\begin{eqnarray*} f_n(x):= -nx^{2n} \end{eqnarray*}$ .
Das wäre dann eine Folge von Polynomen, die alle die obere Schranke 1 haben.

Das Problem ist jetzt das "passend"... verwirrt

verwirrt

15.01.2013, 22:17

Che Netzer

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Naja, die sind zwar nach oben beschränkt, nicht aber nach unten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ etwa wäre $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ eine gute Idee.
Das kannst du jetzt so verschieben, dass es auch ein passender Funktionsterm auf $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ wird.

15.01.2013, 22:25

donpain

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?

Zitat:

Auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ etwa wäre $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ eine gute Idee. Das kannst du jetzt so verschieben, dass es auch ein passender Funktionsterm auf $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ wird.

So: $\begin{eqnarray*} (x-1)^n \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2013, 22:28

Che Netzer

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Ja, das ist die gute Idee.
Jetzt folgt ein kurzes Überprüfen und dann kommt noch eine kleine Korrektur (die man auch bei dem $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ -Ansatz auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ machen müsste).

15.01.2013, 22:32

donpain

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Aber weder $\begin{eqnarray*} (x-1)^n \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ erfüllen doch $\begin{eqnarray*} ||f_n||_\infty <\pi \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2013, 22:49

Che Netzer

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
Auf den jeweiligen Intervallen durchaus, es ist ja $\begin{eqnarray*} 1\leq\pi \end{eqnarray*}$ .
Und ganz fertig bist du mit $\begin{eqnarray*} (x-1)^n \end{eqnarray*}$ noch nicht.

16.01.2013, 11:07

donpain

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?

Zitat:

Und ganz fertig bist du mit $\begin{eqnarray*} (x-1)^n \end{eqnarray*}$ noch nicht.

Ich habe jetzt glaube ich verstanden, was du mit der "Korrektur" meinst.

$\begin{eqnarray*} f_n(x):=\left\{\begin{array}{ll} (x-1)^n , x\in [0,2]\\0,x\notin[0,2]\end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Dann würde gelten, dass f_n stetig in [0,2] und: $\begin{eqnarray*} ||f_n||_\infty <\pi \end{eqnarray*}$ .
Soweit richtig?

Und jetzt bleibt zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} f(x):=sup\left\{f_n(x):n\in \mathbb N \right\} = \left\{\begin{array}{ll} sup\left\{(x-1)^n:n\in \mathbb N \right\} , x\in [0,2]\\0,x\notin[0,2]\end{array} \right. \end{eqnarray*}$
nicht in [0,2] stetig ist.

Jetzt habe ich folgendes gemacht:

Wir wissen:
Sei x=2, dann: $\begin{eqnarray*} (x-1)^n=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(2)=sup\left\{1\right\} =1 \end{eqnarray*}$

Sei x>2, dann: $\begin{eqnarray*} x\notin [0,2]\Rightarrow f_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)=sup\left\{0\right\} =0 \end{eqnarray*}$

Vermutung: f ist nicht stetig in x=2

Sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ reele Folge, die für n gegen Unendlich gegen 2 konvergiert. Gelte $\begin{eqnarray*} x_n>2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (x_n)=2 \end{eqnarray*}$

Aber:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x_n \to 2} f(x_n)=0\neq 2= \lim_{n \to \infty } (x_n) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: f ist nicht stetig in x=2
Daraus folgt: f ist nicht stetig in [0,2]

Und ich wäre fertig.

Ist das so alles legitim oder habe ich irgendwo was übersehen?

Liebe Grüße

16.01.2013, 12:05

Che Netzer

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RE: Folge stetiger Funktionen: Ist das Supremum über die Funktionen stetig?
verwirrt

verwirrt

Probier es mal lieber mit etwas wie $\begin{eqnarray*} -\lvert x-1\rvert^n \end{eqnarray*}$ und berechne das Supremum explit.

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