Matrix - exponentialfunktion - diagonalisierbarkeit

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15.01.2013, 20:46	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix - exponentialfunktion - diagonalisierbarkeit Hallo alle. Ich habe folgende Aufgabe mit der ich wie nicht weiter komme, obwohl die Aufgabe leicht erscheint: a) Sei D eine nxn Diagonalmatrix. Berechnen Sie $\begin{eqnarray} e^D \end{eqnarray}$ b) Sei N eine diagonalisierbare nxn Matrix. Zeigen sie, dass gilt $\begin{eqnarray} e^C = S e^{D}S^{-1}, \text{wobei} C = SDS^{-1} \end{eqnarray}$ Zu 1) Also die Formel für e hoch Matrix einfach anwenden: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} \begin{pmatrix} d_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & d_2 & ... & 0 \\ ..&...&..&. \\0 & 0 & ... & d_n \end{pmatrix}^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} \begin{pmatrix} d_1^n & 0 & ... & 0 \\ 0 & d_2^n & ... & 0 \\ ..&...&..&. \\0 & 0 & ... & d_n^n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ja und jetzt kann man den Bruch in jeden EIntrag reinziehen aber ich weiss nicht, was mir das bringen soll :S... Was kann ich denn hier noch machen??
15.01.2013, 20:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & d_n \end{pmatrix} ^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ ?
15.01.2013, 21:02	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das sinda lle diagonaleinträge hoch die N werte... der rest in der matrix ist ja 0
15.01.2013, 21:04	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, ich hatte übersehen, dass du das schon aufgeschrieben hast. Auch der Schritt $\begin{eqnarray} \frac 1{n!} \end{eqnarray}$ ist gut, damit bist du nämlich schon fast fertig wenn du dich an die Reihendarstellung von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ erinnerst und auf die einzelnen Einträge anwendest.
15.01.2013, 21:34	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh okeee jetzt hab ichs!! Vielen Dank Und eine Frage zu dem b. Teil: Also wir wissen, dass C diagonalisierbare ist, also heisst dass, dass für die Diagonalmatrix gilt: $\begin{eqnarray} D_c = S^{-1}DS \end{eqnarray}$ .. Ich weiss nichgt genau, wie ich bei dem beweis anfangen soll... ich muss ja die Formel für $\begin{eqnarray} e^C \end{eqnarray}$ zeigen, und weiss, dass C diag. ist. Aber ich kann doch jetzt nicht einfach für C die Formel für die Entsprechende Diagonalmatrix einsetzen :S
15.01.2013, 21:36	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte das nicht gehen?
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15.01.2013, 21:39	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab es auch so versucht: $\begin{eqnarray} e^C = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} C^n \end{eqnarray}$ und jetzt für das C die form SDS-1 einsetzen? $\begin{eqnarray} e^C = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} C^n = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} S^n D^n S^{-1n} \end{eqnarray*}$ aber was kann ich dann machen :S..aus der summe lässt sich nicx rausziehen
15.01.2013, 21:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast auch einen Fehler gemacht, es ist zwar $\begin{eqnarray} C=SDS^{-1} \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} C^n\neq S^nD^nS^{-n} \end{eqnarray}$ , denk da nochmal drüber nach. Danach lässt sich etwas aus der Summe ziehen.
15.01.2013, 22:02	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - exponentialfunktion - diagonalisierbarkeit AAAA oke, ich habe ein wenig gegoogelt und gefundne, dass wenn eine Matrix A diag. ist, ex. die Diagonalmatrix D,so dass: $\begin{eqnarray} A =SDS^{-1} \end{eqnarray}$ und dann ist $\begin{eqnarray} A^n =SD^n S^{-1} \end{eqnarray}$ Also das gilt allgemein immer so? Ich kann das also einfach so anwenden in der Aufgabe, als einzige begrüundung quasi, weil die matrix diag. ist??
15.01.2013, 22:08	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach so etwas anwenden sollte man nie, aber dass $\begin{eqnarray} A^n=SD^n=S^{-1} \end{eqnarray}$ ist einfach nachzuvollziehen. Schreib dir $\begin{eqnarray} A^n \end{eqnarray}$ mal für n=2,3,4... auf. Ansonsten kannst du das natürlich in $\begin{eqnarray} e^A=e^{SDS^{-1}} \end{eqnarray}$ verwenden.

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