bedingter Erwartungswert

15.01.2013, 21:09	TobiSemseg	Auf diesen Beitrag antworten »
bedingter Erwartungswert Meine Frage: Seien X,Y reellwertige, gemeinsam normalverteilte ZV, E(X) = a , E(Y) = b, Var(Y) > 0. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} E(X\|Y)=a+\frac{Cov(X,Y)}{Var(Y)} \cdot (Y-b) \end{eqnarray}$ Als Hinweis gab es: zerlege X in X =(X-cY)+cY, c reell, so dass Z:=X-cY und Y unabhängig sind. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} E(X\|Y)=E((X-cY)+cY\|Y)=E(X-cY\|Y)+E(cY\|Y)=E(X-cY)+cY<br /> =a-bc+cY=a+c(Y-b) \end{eqnarray}$ . Dies gilt natürlich nur, falls die Unabhängigkeit von Z und Y gilt. Jetzt könnte ich $\begin{eqnarray} c:=\frac{Cov(X,Y)}{Var(Y)} \end{eqnarray}$ und meine Identität wäre bewiesen, wie zeige ich denn, dass Y und Z mit meiner Wahl von c wie oben unabhängig sind? Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das für ZV zeige..Vielen Dank für Eure Hilfe =)
15.01.2013, 21:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} (X_1,X_2) \end{eqnarray}$ zweidimensional normalverteilt, so sind deren beide Komponenten $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ genau dann unabhängig, wenn sie unkorreliert sind - das ist der Schlüssel zur Berechnung: Du musst $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ also so wählen, dass $\begin{eqnarray} \operatorname{Cov}(X-cY,cY)=0 \end{eqnarray}$ erfüllt ist.
15.01.2013, 22:27	TobiSemseg	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank !
01.06.2014, 16:03	griffith	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Gibt es einen ähnlichen Trick auch für den Beweis für die bedingte Varianz? D.h. für $\begin{eqnarray} V(X\|Y)=V(X)-\frac{Cov(X,Y)^{2} }{V(Y)} \end{eqnarray}$ Hat da jemand einen Tipp für mich? Ist auf diesem Wege ja doch einiges schneller und angenehmer als über die Dichten. Vielen lieben Dank!

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