Ableitungs-Anfänger

14.02.2007, 22:10

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitungs-Anfänger

Hallo Leute !

Da heute das erste Treffen unseres Mathe-LK's war und ich mit Erschrecken ferststellen musste das unsere Klasse am meisten zuruckhängt (Wir S.20/Grenzwerte , andere Klassen S.100/Kurvendiskussion) muss ich jetzt über die Feiertage alles schön nacharbeiten.

Und jetzt hänge ich gerade bei der Ableitung ...

Das Prinzip kenne ich ja noch aus der Physik (Stichwort: Momentangeschwindigkeit). Man möchte ja von Punkten in Kurven die Steigung rausfinden. Das ist ja eigentlich garnicht mal so einfach , weil eine Kurve fast um jede Ecke eine andere Steigung hat Big Laugh

Big Laugh

[etwas flopsig ausgedrückt]. Also leitet man bestimmte Punkte auf dieser Kurve ab , um die Steigung in diesem Punkt rauszufinden.
Bla bla blub ... ich denke mal ihr wisst das alle schon . Die Formel dazu kenn ich auch schon und zwar :

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} h = x-x_0 \end{eqnarray*}$ (also die Differenz der beiden x-Werte)

Schön und gut also habe ich ein paar Aufgaben probiert ... und komme einfach nicht weiter

Beispiel :

Die Funktion f wird dargestellt durch f(x)=x²
Bestimmen Sie rechnerisch die Ableitung für x=-2 , x=0 , x=0,5 und x= 1,5

Ok und bei mir haperts schon bei -2 !
Ich setze das ganze einfach mal ein

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} \end{eqnarray*}$

und weiter ...

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(-2+h)²-(-2)²}{h} \end{eqnarray*}$

und jetzt würde ich das hier machen

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{4-4}{h} = 0 \end{eqnarray*}$

Und zwar habe ich die -2 zum Quadrat genommen = 4
Die h habe ich gleich weggelassen , weil h ja gegen 0 geht [Wenns gegen null geht , kann man es ja gleich weglassen]

Da muss ich aber einen Fehler gemacht haben ... im Buch steht als Lösung "-4"

Ich würde mich sehr über eure Antworten freuen !

14.02.2007, 22:17

MI

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitungs-Anfänger

Zitat:

Original von Baldessarini
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(-2+h)²-(-2)²}{h} \end{eqnarray*}$

und jetzt würde ich das hier machen

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{4-4}{h} = 0 \end{eqnarray*}$

Und DIESER Schritt ist nicht erlaubt! WENN du h gegen Null laufen lässt, dann musst du auch das h im Nenner gegen Null laufen lassen und du hast einen Bruch 0/0.
Also: Rechne einfach mit h weiter (binomische formel, etc.) und dann schaust du, ob du irgendwie h im Nenner wegkürzen kannst - denn dann hättest du nicht mehr das Problem der 0 im Nenner.

Gruß
MI

14.02.2007, 22:32

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich habe es jetzt so gemacht

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(-2+h)²-(-2)²}{h} \end{eqnarray*}$

binomische Formel anwenden

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(4-4h+h^2)-4}{h} \end{eqnarray*}$

+4 und -4 kürzt sich weg

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{-4h+h^2}{h} \end{eqnarray*}$

Von dem -4h geht das h weg(weil -4h/h=-4 ist)
Also hat man nun da stehen

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} -4+h² \end{eqnarray*}$

Und da jetzt die Werte von h gegen null gehen (also irgendwas mit 0,0001) , sie dann aber mit 4 addiert werden , gibt es einen Wert der eigentlich -4 entspricht ... alsooo

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} -4+h² = -4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das was ich gerechnet und geschrieben habe ?

14.02.2007, 22:38

MI

Auf diesen Beitrag antworten »

Ula... Aus Summen kürzen nur die... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du musst erst einmal ausklammern!

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \to 0} \frac{h\cdot(-4+h)}{h} \end{eqnarray*}$

Und jetzt darfst du (eigentlich unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} h \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) wegkürzen und den Grenzwert anwenden.

Kommt aber natürlich dasselbe raus, weil 0^2=0^1=0...

Gruß
MI

14.02.2007, 22:54

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso jetzt versteh ich ... stimmt den Spruch "Aus Summen kürzen nur die Dummen" habe ich schonmal gehört ...

Bestimmen Sie für die Funktion f(x)=x²-4x die Ableitung f'(3)

Gut dann fang ich mal an erstmal die allgemein Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

=> einsetzen

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} \end{eqnarray*}$

=> die Funktion mit einbringen

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2-4*(3+h)-(3)^2-4*(3+h)}{h} \end{eqnarray*}$

so und ab jetzt würde ich einfach binomische Formel, Termunformung, hier und da kürzt sich was weg bis ich bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{-24+2h+h^2}{h} \end{eqnarray*}$

So und jetzt weiß ich nicht weiter bzw. ich weiß nicht ob ich das da überhaupt ansatzweise richtig gemacht habe....
traurig

traurig

14.02.2007, 22:58

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein kleiner Fehler hat sich eingeschlichen.

Der Zähler ist bei f(3) am Ende nicht 4(3+h) sondern nur 4*3
Außerdem fehlt etwas Klammernsetzung

air

Anzeige

14.02.2007, 22:58

MI

Auf diesen Beitrag antworten »

Und manchmal wäre Klammern setzen auch ganz hilfreich Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Im Zähler steht nämlich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{((3+h)^2-4*(3+h))-((3)^2-4*(3+h))}{h} \end{eqnarray*}$
und dann dürfte es wieder funktionieren!

Gruß
MI

EDIT: Siehe Airblader - ich hab's da gelassen...

14.02.2007, 22:58

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist leider nicht richtig!
ich kann nur vermuten, daß du irgendwo beim auflösen der Klammer einen Vorzeichenfehler gemacht hast! Wäre besser du schreibst die schritte hin, dann sieht man den Fehler sofort!

14.02.2007, 22:59

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MI
Und manchmal wäre Klammern setzen auch ganz hilfreich Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Im Zähler steht nämlich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{((3+h)^2-4*(3+h))-((3)^2-4*(3+h))}{h} \end{eqnarray*}$

Muss es nicht

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{((3+h)^2-4*(3+h))-((3)^2-4*3)}{h} \end{eqnarray*}$

sein? bei f(3) wird schließlich kein h mit eingesetzt für x Augenzwinkern

Augenzwinkern

air
Edit: Ist übrigens ein recht einfach lösbares Beispiel, in 5 Schritten ist man durch, da sich alles sehr schnell aufhebt, wenn man die Klammern auflöst Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.02.2007, 23:00

MI

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich in dem Moment auch gesehen...

Danke Airblader!
Gruß
MI

14.02.2007, 23:19

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut also versuch ichs nochaml Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{((3+h)^2-4*(3+h))-((3)^2-4*3)}{h} \end{eqnarray*}$

Dann jetzt erstmal die binomischen Formel e.t.c. ausrechen (oder ausfaktorisieren, was ist denn der Fachausdruck dafür ? )

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{[(9+6h+h^2)-12-4h]-(-3)}{h} \end{eqnarray*}$

und weiter ...

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(-3+2h+h^2)+3}{h} \end{eqnarray*}$

und weiter ...

-3 und +3 kürzen sich ja bekanntlich weg ...

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{2h+h^2}{h} \end{eqnarray*}$

Dann ausfaktorisieren (ist das der richtige Begriff ?? Ich muss mal ein wenig mathematisches Fachvokabular lernen)

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{h(2+h^2)}{h} \end{eqnarray*}$

und tada !

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} h^2+h= 2 \end{eqnarray*}$ ///:Edit : falsch,siehe Beitrag unten Korrektur :-)

Wuhu richtig so steht es auch im Buch !

---- So und ich denke jetzt komme ich mal zur letzen Aufgabe, diese Ableitungen bringen mich noch auf einen Blitzableiter Hammer

Hammer

Bestimmen Sie für die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3}{x} \end{eqnarray*}$ die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ (\frac{3}{2+h})-(\frac{3}{2}) }{h} \end{eqnarray*}$

Wirklich keine Ahnugn wie ich hier weitermachen soll .... die Nenner 2+h und 2 sind ja vollkommen unterschiedlich ... da kann ich ja auch garnicht irgendwas super spannend erweitern oder sowas ....

14.02.2007, 23:21

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Baldessarini

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} h^2+h= 2 \end{eqnarray*}$

Wuhu richtig so steht es auch im Buch !

VETO!

Augenzwinkern

14.02.2007, 23:23

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups vor leiter Aufregung falsch aufgeschrieben LOL Hammer

LOL Hammer

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2+h^2= 2 \end{eqnarray*}$

Zufrieden Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

14.02.2007, 23:26

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt ja!

Big Laugh

zu deiner letzten Aufgabe, Stichwort :HN!

14.02.2007, 23:34

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.google.de/search?hl=de&q=HN&b...gle-Suche&meta= ?
http://de.wikipedia.org/wiki/Hn ?
http://de.wikipedia.org/wiki/Honduras ??

Tut mir Leid, aber mit dem Tipp kann ich nix anfangen ... ich glaub ich steh auf dem Schlauch ...

14.02.2007, 23:38

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

HN= Hauptnenner! Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.02.2007, 23:50

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich muss mal ein wenig mathematisches Fachvokabular lernen

Ist nie schlecht, denn sonst kann man irgendwann vllt. nicht nachvollziehen was du machen willst. Und in ner Arbeit kann das sogar Abzug geben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Achja:

Zitat:

Dann ausfaktorisieren

= "Ausklammern"

Zitat:

-3 und +3 kürzen sich ja bekanntlich weg

-> Nun, kürzen ist an sich ja was anderes. Man könnte sagen "heben sich auf" oder "summieren sich zu 0" smile

smile

Wobei grade die 2 Beispiele nun nicht dramatisch sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

14.02.2007, 23:54

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich ja schon oben gemeint ... ich finde auch keinen Hauptnenner ... vielleicht $\begin{eqnarray*} 2(2+h) \end{eqnarray*}$ ? Da kommt dann aber wenn man es ausrechnet irgendwas mit 6-6+3h raus , das kanns ja nicht aus ...

Noch einen Tipp für mich ?

14.02.2007, 23:57

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

2(2+h) ist schon der richtige Hauptnenner.

Aber hast du ihn auch richtig auf die Brüche angewendet?

air
P.S.: 100. beitrag smile

smile

Prost

Edit:
Achja, es ist nicht ganz richtig was du raus hast, aber fast. Denk an die Minusklammer!
Noch ein Tipp: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2+2h} \end{eqnarray*}$ (als Bsp.) geht für h->0 gegen 1/2. Steht das h im Nenner, aber in einer Summe, in der ein Summand unabhängig von h ist, kannst du den Grenzübergang machen smile

smile

Oder einfach ausgedrückt: Wenn der Nenner für h->0 nicht gegen 0 geht.

air

15.02.2007, 00:02

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ne da bleibe ich gerade wirklich hängen ...

also :

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ (\frac{3}{2+h})-(\frac{3}{2}) }{h} \end{eqnarray*}$

Hauptnenner ist $\begin{eqnarray*} 2(2+h) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt ausfaktorisiere/erweitere (richtiges Vokabular ?? ) kommt bei mir ...

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ (\frac{3}{(2+h)(4+2h)})-(\frac{3}{4+h}) }{h} \end{eqnarray*}$

und das sind ja nicht die gleichen Hauptnenner ...

PS: Gratz zu 100 Prost

Prost

15.02.2007, 00:06

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Baldessarini
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ (\frac{3}{(2+h)(4+2h)})-(\frac{3}{4+h}) }{h} \end{eqnarray*}$

und das sind ja nicht die gleichen Hauptnenner ...
PS: Gratz zu 100 Prost

Prost

gut, daß du es auch festgestellt hast! Wenn du das weißt, warum machst du es nicht richtig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2007, 00:07

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast den HN falsch angewendet.
Lies doch mal das hier: Hauptnenner - aber wie ? dazu smile

smile

Passt grad so schön Augenzwinkern

Augenzwinkern

D.h. du erweiterst die Brüche jeweils nur mit dem Teil des HN, den du brauchst, um im Nenner auf den HN zu kommen.
Bsp:

Du hast im Nenner des einen Bruchs 3, der HN ist 3h. Dann multiplizierst du den Zähler dieses Bruchs mit h (und den Nenner - aber da kann man auch kurz sagen: Der neue Nenner ist der HN).
Welcher Teil das ist, mit dem du den Zähler multiplizieren musst, lässt sich so sagen: (Hauptnenner) / (Nenner des Bruchs) also im Bsp. wäre es (3h) / (3) = h

air

(Wenn ich mir das selber so durchlese, weiß ich wieder, warum ich den Ruf habe nichts erklären zu können! Big Laugh

Big Laugh

Vllt. tut sich da jmd anders besser dran)

15.02.2007, 00:17

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid aber ich komm nicht mehr weiter ... ich guck mir das einfach morgen [bzw. später heute] nochmal an und werde mich dann melden ... bin einfach sowas von fertig und muss noch duschen und dann wieder um 7 aufstehen

Ich bedanke mich wirklich sehr sehr für eure Hilfe, nur mit mir ist nicht mehr soviel anzufangen. Wie gesagt ich meld mich wieder smile

smile

Danke und euch noch eine gute Nacht :-D

PS: air, du erklärst nicht schlecht Big Laugh

Big Laugh

15.02.2007, 00:50

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das erste Mal, dass ich das höre! Big Laugh

Big Laugh

Nun, hab noch kein Lust zu Bett zu gehen, darum mal noch ein ausführliches Bsp für morgen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{h-2} - \frac{2}{3h} \end{eqnarray*}$

Hauptnenner: $\begin{eqnarray*} (h-2)(3h) = 3h(h-2) \end{eqnarray*}$

Nun den ersten Bruch:
Nach obiger Methode ist der notwendige Teil zum Multiplizieren (also eig. erweitern) $\begin{eqnarray*} \frac{3h(h-2)}{h-2} = 3h \end{eqnarray*}$ womit sich für den ersten Bruch ergibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{5 * 3h}{(h-2) * 3h} = \frac{15h}{3h(h-2)} \end{eqnarray*}$

Analog für den 2. Bruch:
$\begin{eqnarray*} \frac{3h(h-2)}{3h} = h-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{2 * (h-2)}{3h * (h-2)} = \frac{2h-4}{3h(h-2)} \end{eqnarray*}$

Also im gesamten nun:
$\begin{eqnarray*} \frac{15h}{3h(h-2)} - \frac{2h-4}{3h(h-2)} \end{eqnarray*}$

Und siehe da: Sie haben den selben Nenner! Na, dann können wir doch weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{15h - (2h-4)}{3h(h-2)} = \frac{15h - 2h + 4}{3h(h-2)} = \frac{13h + 4}{3h(h-2)} \end{eqnarray*}$

Um es zu verdeutlichen: Das Bsp hat nichts mit Ableiten zu tun, es geht allein um den Hauptnenner smile

smile

So, nun bin ich aber auch bettreif smile

smile

air

15.02.2007, 01:05

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{3}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(2) = ?? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{(\frac{3}{2+h})-(\frac{3}{2})}{h}= \lim_{h \to 0}\frac{(\frac{6}{2(2+h)})-(\frac{3(2+h)}{2(2+h)})}{h}= \lim_{h \to 0}\frac{\frac{6-6-3h}{(4+2h)}}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(-3h)}{(4+2h)}\cdot\frac{1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(-3)}{(4+2h)} = -\frac{3}{4} =f'(2) \end{eqnarray*}$

15.02.2007, 06:28

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

@derkoch

Wundert mich jetzt schon etwas, dass ausgerechnet du die komplette Lösung einfach so lieferst verwirrt

verwirrt

15.02.2007, 10:34

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
@derkoch

Wundert mich jetzt schon etwas, dass ausgerechnet du die komplette Lösung einfach so lieferst verwirrt

verwirrt

Man sieht ja, daß der gute Baldessarini, ja nicht nur "rumgesessen" und Däumchen gedreht hat, er hat ja versucht die Aufgaben zu lösen. War doch auch schon fast fertig , also kann man hier ne Ausnahme machen und ihm unter die Arme greifen. smile

smile

15.02.2007, 12:28

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Dabei war er doch so motiviert das nochmal zu versuchen smile

smile

Aber gut - man kann sich ja auch immer selber Beispiele schaffen Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

15.02.2007, 19:26

Baldessarini

Auf diesen Beitrag antworten »

Och Leute ihr seit echt nett ! Ich schätze das wirklich sehr ...

Ich schau mir das Beispiel von air und die Ausrechnung von derkoch nochmal genau an ... und wenn ich dann Fragen habe , stelle ich die !

Momentan sitze ich an der Kurvendiskussion (Hab Ableitungsfunktionen und Kurvendiskussion in einem "Blitz-Tempo" gelernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

) .

Also nochmal vielen vielen Dank Big Laugh

Big Laugh

15.02.2007, 21:09

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal ein Tip, aber derkoch hat ihn in der Lösung auch sehr gut formuliert, ist aber allgemein öfters nützlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b*c} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a*c}{b} \end{eqnarray*}$

Auf den "Beweis" verzichte ich, es ist nämlich pure Äquivalenzumformung oder Umschreibung - lohnt sich m.M.n. aber diese 2 Dinge einfach zu behalten, spart nämlich viel Arbeit.

Dann noch viel Spaß und lass dich nicht unterkriegen Wink

Wink

air

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »