Mehrdimensionales Integral

15.01.2013, 22:10	aleos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionales Integral Folgende Aufgabenstellung: Berechnen Sie das Integral: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{S^2} (x_1)^2 dS(x)<br /> \end{eqnarray}$ Meine Idee: Nichts soweit. Ich weiß, dass unter S² die Sphere im zwei-dim. gemeint ist. Wir hatten letzte Woche die Berechnung von Oberflächen durch mehr. Integrale begonnen und dafür eine Formel gehabt. $\begin{eqnarray} <br /> \int_{M} f(x) dS(x) = \int_{T} f(\phi(x)) \cdot \sqrt(g) dx<br /> \end{eqnarray}$ wobei [latex]\phi(x)[\latex] eine Karte zu f ist und g die Gram'sche Det. Aber wie ich jetzt vorgehen soll, weiß ich nicht genau.
16.01.2013, 09:12	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter $\begin{eqnarray} S^{n-1} \end{eqnarray}$ versteht man die Oberfläche der Einheitskugel im n-dimensionalen Raum, welche ihrerseits eine (n-1)-dimensionale Mannigfaltigleit darstellt. Zum Beispiel ist die 2-Shäre die Oberfläche einer 3-dimensionalen Kugel. Diese 2-Shäre ist iherseits 2-dimensional, denn jeder Punkt der anschaulichen 3D-Kugeloberfläche kann durch zwei Winkel $\begin{eqnarray} \phi, \theta \end{eqnarray}$ beschrieben werden (=Längen- und Breitengrad). Du sollst also folgendes Flächenintegral über die Kugeloberfläche berechnen $\begin{eqnarray} \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi} \underbrace{\cos^2(\phi)\sin^2(\theta)}_{x_1^2}\cdot \underbrace{\sin(\theta)}_{\text{Funktionaldeterminante}}\,\,d\theta d\phi \end{eqnarray}$
16.01.2013, 16:55	aleos	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so hat es der Professor heute auch erklärt. Ich verwende quasi $\begin{eqnarray} <br /> \Phi(\theta, \phi )<br /> \end{eqnarray}$ als Karte und rechne dann eben um. Danke für die Erklärung! EDIT: Fehler im Latex.

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