Geradenschar bildet Ebene

16.01.2013, 12:08

Gast hier

Geradenschar bildet Ebene

Hallo,

wahrscheinlich eine einfache Frage, aber ich brauche jemanden, der mir auf die Sprünge hilft:
Gegeben ist die Geradenschar
$\begin{eqnarray*} g_a : \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -4a \\ 1 \\3a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Wie zeige ich nun, dass diese Schar eine Ebene aufspannt und nicht etwa einen Raum oder anderes?

Durch den allen gemeinsamen Punkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schneiden sich die Geraden schon mal dort und die Richtungsvektoren sind alle unabhängig. Das reicht aber wahrscheinlich nicht?

16.01.2013, 12:22

Bürgi

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RE: Geradenschar bildet Ebene
Wenn man überhaupt keinen Ansatz hat, dann muss man halt probieren:

Suche Dir für a 3 Werte. Mit zwei von diesen drei Werten lässt sich die Ebenengleichung bestimmen (warum eigentlich?).
Dann überprüfe, ob die dritte Gerade ebenfalls in der Ebene liegt.

Und dann mach das Ganze mit allgemeinem a.

16.01.2013, 12:30

Gast hier

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RE: Geradenschar bildet Ebene
Ah, cool, danke. smile

Also einfach mal 3 verschiedene Richtungsvektoren mit [latex]a_1 , a_2 , a_3[\latex] auf lineare Abhängigkeit prüfen. War ja doch ganz einfach.

16.01.2013, 12:32

zyko

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RE: Geradenschar bildet Ebene
Schreibe deine Geradenschar in der Form
$\begin{eqnarray*} g_a : \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -4a \\ 1 \\3a \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}+ \mu \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\3 \end{pmatrix} \mbox{ mit } \mu=\lambda\cdot a \end{eqnarray*}$ .
Damit hast du die Ebenengleichung, falls du zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ unabhängig alle reellen Zahlen durchlaufen können.

16.01.2013, 12:52

Gast hier

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RE: Geradenschar bildet Ebene

Zitat:

Original von zyko
Damit hast du die Ebenengleichung, falls du zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ unabhängig alle reellen Zahlen durchlaufen können.

Wie mache ich das?

16.01.2013, 18:04

zyko

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RE: Geradenschar bildet Ebene
Da in deiner Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ beliebige reelle Zahlen darstellen, kann auch $\begin{eqnarray*} \mu=\lambda\cdot a \end{eqnarray*}$ jede beliebige reelle Zahl annehmen.

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