Teilbarkeit durch 7 (Induktion)

16.01.2013, 13:32

steviehawk

Teilbarkeit durch 7 (Induktion)

Meine Frage:
Hallo Leute, ich soll zeigen, dass der Term:

$\begin{eqnarray*} 1 + 2^{2^{n}} + 2^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ durch 7 Teilbar ist.

für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} 21 \end{eqnarray*}$ ist natürlich durch 7 teilbar.

So jetzt habe ich mal nachgerechnet, was passiert, wenn man $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einsetzt.
Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} 1+ 2[ 2^{2^{n}} + 2^{2^{n+1}}] \end{eqnarray*}$

Wie kann ich vor hier auf meine Vorraussetzung schließen? Von der komm ich ja dann "leicht" auf die zu beweisende Aussage!

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

16.01.2013, 13:35

klarsoweit

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RE: Teilbarkeit durch 7 (Induktion)

Zitat:

Original von steviehawk
Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} 1+ 2[ 2^{2^{n}} + 2^{2^{n+1}}] \end{eqnarray*}$

Wie bist du darauf gekommen? verwirrt

16.01.2013, 14:08

RavenOnJ

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@stevie

Dir ist hoffentlich klar, dass $\begin{align*} 2^{2^n} \end{align*}$ dasselbe ist wie $\begin{align*} 2^{(2^n)} \end{align*}$ . Damit also

$\begin{eqnarray*} 2^{2^{n+1}} := 2^{(2^{n+1}) }= 2^{(2\cdot 2^n)} = \Big(2^{2^n}\Big)^2 \end{eqnarray*}$

16.01.2013, 14:40

steviehawk

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Oh, da bin ich wohl mit den Potenzen bisschen durcheinander gekommen. Hammer

Mit dem Tipp von RavenOnJ habe ich nun:

$\begin{eqnarray*} 1 + (2^{2^{n}})^2 + (2^{2^{n+1}})^2 \end{eqnarray*}$

den letzen Term könnt ich jetzt auf die gleiche Weise vereinfachen! bringt das was?

16.01.2013, 14:47

HAL 9000

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Tatsächlich kann man hier für $\begin{eqnarray*} a_n = 1+2^{2^n}+2^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ sogar "leicht" $\begin{eqnarray*} a_n \mid a_{n+1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nachweisen, womit (wie Che Netzer sagen würde) per Mini-Induktion auch $\begin{eqnarray*} a_0 \mid a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ folgt.

EDIT: Anfangsindex von 1 auf 0 geändert. Augenzwinkern

16.01.2013, 14:49

steviehawk

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Was bedeutet:

$\begin{eqnarray*} a_n | a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

16.01.2013, 14:51

HAL 9000

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Das bedeutet: $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist ein Teiler von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

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