Integrationsregeln (Substitution)

16.01.2013, 18:08

Schinken

Integrationsregeln (Substitution)

Meine Frage:
Guten Abend liebe Leute,
um es kurz zu machen: Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter und brauche vielleicht einen leichten Klaps auf den Hinterkopf.. :/

"Berechnen sie folgendes Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_\frac{\pi}{3}^\frac{2\pi}{3} \! \frac{dt}{sint} \, \end{eqnarray*}$

(Substitution $\begin{eqnarray*} x = \tan(\frac{t}{2} ) \end{eqnarray*}$ "

Meine Ideen:
Da ich offensichtlich mit $\begin{eqnarray*} x = \tan(\frac{t}{2} ) \end{eqnarray*}$ substituieren soll, leite ich zuerst danach ab:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \tan^{2}(\frac{t}{2} ) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt außerdem:

$\begin{eqnarray*} dt = \frac{dx}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \tan^{2}(\frac{t}{2} ) } <br /> \end{eqnarray*}$

Nun integriere ich noch die Grenzen nach der Substitution:

Obere: $\begin{eqnarray*} t = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Untere: $\begin{eqnarray*} t = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt eigentlich die Integralsubstitution, aber hier weiß ich leider nicht mehr weiter.. kann mir jemand einen Tipp geben?

Grüße,
Schinken

16.01.2013, 18:42

zyko

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RE: Integrationsregeln (Substitution)
Vielleicht hilft dir die Formel
$\begin{eqnarray*} \sin(t)=2sin(t/2)cos(t/2) \end{eqnarray*}$
weiter und ersetze alle Winkelfunktionen durch geeignete Ausdrücke mit $\begin{eqnarray*} \tan\left(\frac{t}{2}\right) \end{eqnarray*}$
Es gilt z.B. $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{\tan\left(\frac{t}{2}\right)}{\sqrt{1+\tan^2\left(\frac{t}{2}\right)}} \end{eqnarray*}$ .
Eine ähnliche Formel gibt es für den Kosinus.
Um das richtige Vorzeichen bei der Wurzel zu setzen, musst du darauf achten, in welchem Intervall x liegt. Das folgt aus den Integrationsgrenzen.
Denke daran $\begin{eqnarray*} \tan\left({\frac{t}{2}}\right) \end{eqnarray*}$ überall durch x zu ersetzen, sowie dt durch den entsprechenden dx-Term außerdem die Integrationsgrenzen anpassen.

16.01.2013, 19:04

Schinken

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RE: Integrationsregeln (Substitution)

Zitat:

Original von zyko
...Es gilt z.B. $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{\tan\left(\frac{t}{2}\right)}{\sqrt{1+\tan^2\left(\frac{t}{2}\right)}} \end{eqnarray*}$ ...

Einen kurzen Moment.. wie kommst du auf diese Formel? :o

16.01.2013, 21:58

RavenOnJ

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$\begin{eqnarray*} \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\tan^2(x)}=\sqrt{1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}} =\sqrt{\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}} = \frac{1}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

Rest darfst du selber machen.

16.01.2013, 23:02

zyko

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S. z.B. Bronstein et al. Taschenbuch der Mathematik, 5. Auflage, 2001: Integration trigonometrischer Funktionen.

17.01.2013, 17:39

Schinken

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Erstmal danke euch beiden, dass ihr euch meiner annehmt!

Ich habe jetzt die Formel verwendet, habe die Integralsubstitution durchgeführt und bin bei

$\begin{eqnarray*} \int_ \frac{1}{\sqrt{3}} ^ \frac{\sqrt{3}}{1} \! \frac{2dx}{x\sqrt{x^{2}+1} } <br /> \end{eqnarray*}$

..Leider habe ich vorschnell alles per partieller Integration ausgerechnet.. Habe ein Ergebnis, das aber laut WolframAlpha falsch ist..
Und sogar diese Formel hier stimmt nichtmehr mit dem Anfagsintegral überein..

Soll ich jeden Zwischenschritt hinschreiben oder sieht irgendjemand mit geübtem Auge einen Fehler? traurig

17.01.2013, 23:19

zyko

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Ich erhalte hier nach der Substitution

$\begin{eqnarray*} \int_ \frac{1}{\sqrt{3}} ^ \frac{\sqrt{3}}{1} \! \frac{1}{x} dx<br /> \end{eqnarray*}$ .
Überprüfe deine Rechenschritte.

20.01.2013, 20:58

Schinken

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oohhh, hab den Fehler!! Habe falsch abgeleitet und und nicht sin(t/2) sondern nach tan(t/2) eingesetzt! smile