zentraler differenzenquotient

14.02.2007, 23:05

Goki

zentraler differenzenquotient

n schönen guten Tach Wink

bitte um Hilfestellung bei folgendem Problem.

Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein offenes Intervall. $\begin{eqnarray*} I \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ diffbar in $\begin{eqnarray*} x_0 \in I \end{eqnarray*}$

Beh:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0}~ \frac {f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} \end{eqnarray*}$

Hmmmm .. also ich hab da echt lang ausprobiert, aber ich komm da beim besten Willen auf keinen grünen Zweig.

Hab mir überall versucht denkanstösse zu organisieren, doch bei google und wiki lande ich immer bei Numerik Big Laugh

Ich will damit keine Algorithmen basteln, sondern nur diese Gleichung bzw. die Existenz des "rechten" Grenzwertes beweisen können

14.02.2007, 23:11

derkoch

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Zitat:

Original von Goki

Beh:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0}~ \frac {f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} \end{eqnarray*}$

Ich habe das anders in Erinnerung: verwirrt

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0}~ \frac {f(x_0 + h) - f(x_0 )}{h} \end{eqnarray*}$

14.02.2007, 23:16

Orakel

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Die Behauptung von Goki ist auch richtig. Einfach mal geschickt eine Null addieren: $\begin{eqnarray*} f(x_0)-f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ .

14.02.2007, 23:46

Goki

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hmmm .. falls ich dich richtig verstanden habe, folgt dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~ \frac {f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~ \frac {f(x_0 + h) - f(x_0 )}{2h} - \frac {f(x_0 + h) + f(x_0)}{2h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \left (\lim_{h \to 0}~ \frac {f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} + \lim_{h \to 0}~ \frac {-f(x_0 + h) + f(x_0)}{h}\right) \end{eqnarray*}$

und die beiden "Einzelnen" existieren dann nach Voraussetzung, da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ diffbar in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , und somit folgt die Beh. ?

hmmm .. das wäre zu einfach.
Ausserdem weiss ich nicht, ob ich einfach $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ rausziehen kann.
sieht alles n bisschen wirsch aus geschockt

du meinst bestimmt etwas anderes.

14.02.2007, 23:51

Orakel

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das 1/2 kannst du selbstverständlich ausklammern. außerdem stimmen noch diverse vorzeichen nicht -> nochmal nachrechnen!!!

15.02.2007, 00:05

Goki

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$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \left( \frac {f(x_0 + h) - f(x_0 - h) + f(x_0) - f(x_0)}{h}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac 1 2 \left( \frac {f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - \frac {f(x_0 - h) + f(x_0)}{h}\right) \end{eqnarray*}$

so vielleicht smile

15.02.2007, 00:08

Orakel

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nee, so aber:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)+f(x_0)-f(x_0)}{h}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}\right) \end{eqnarray*}$

15.02.2007, 00:16

Goki

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tatsache ... Big Laugh

da scheitere ich an den Rechenregeln der 8. Klasse LOL Hammer

hmm .. die idee hinter dem ganzen war aber richtig oder ?

nun gut, dann bedanke ich mich schonma recht herzlich, mit der hoffnung das keine weiteren einwände kommen Augenzwinkern

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