Leibnizregel / verallgemeinerte Produktregel der Ableitung

14.02.2007, 23:19

-felix-

Leibnizregel / verallgemeinerte Produktregel der Ableitung

Hallo,

bin gerade dabei im Königsberger dieses Semester Analysis 1 noch etwas aufzuarbeiten. Hierbei bin ich bei den Ableitungen auch auf die Leibnizregel
$\begin{eqnarray*} (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)} \end{eqnarray*}$
gestoßen. Diese mit vollständiger Induktion zu beweisen ist auch kein Problem. Jetzt aber meine Frage: Sie sieht ja von der Form sehr ähnlich dem binomischen Satz und auch der Induktionsbeweis verläuft völlig analog.

Den Beweis zum binomischen Satz konnte man sich aber auch überlegen, dass $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \underbrace{(a+b)\ldots(a+b)}_{\text{n Klammern}} \end{eqnarray*}$ und dann ausmultiplizieren und sortieren. Dabei entstehen Summanden $\begin{eqnarray*} a^k b^{n-k} \; \text{mit } k = 0,...,n \end{eqnarray*}$ . Ein solcher Summand wird gebildet, indem aus den n Klammern k Klammern auswählt und daraus das a nimmt und aus den restlichen (n-k) das b. Man überlegt sich ja dann, dass es $\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten gibt, k Klammern auszuwählen, also ist dies die Anzahl wie oft der Summand $\begin{eqnarray*} a^k b^{n-k} \end{eqnarray*}$ in der ausmultiplizierten Summe auftaucht, durch sortieren erhält man dann den binomischen Satz.

Kann man auch die Leibnizregel mit einem ähnlichen (gleichen?) kombinatorischen Argument begründen. Mein Problem hierzu ist eben, dass ich keine Möglichkeit sehe, dass Analogon zu $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \underbrace{(a+b)\ldots(a+b)}_{\text{n Klammern}} \end{eqnarray*}$ und dem anschließenden ausmultiplizieren zu bilden. Von daher glaube ich auch nicht, dass man es auf diese Weise erklären kann, aber da ja neben der Formel auch der Induktionsbeweis eine solch frappierende Ähnlichkeit zum binomischen Satz aufweist, würde es mich schon sehr interessieren, ob man hier auch auf diese Weise irgendwie rangehen könnte.

Freue mich über jegliche Kommentare, viele Grüße
Felix

15.02.2007, 22:34

Raumpfleger

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RE: Leibnizregel / verallgemeinerte Produktregel der Ableitung

Zitat:

Original von -felix-

Mein Problem hierzu ist eben, dass ich keine Möglichkeit sehe, dass Analogon zu $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \underbrace{(a+b)\ldots(a+b)}_{\text{n Klammern}} \end{eqnarray*}$ und dem anschließenden ausmultiplizieren zu bilden.

Felix

Man sieht die Analogie sofort ein, wenn man sich die Differentiale zur Veranschaulichung mit Nummern versehen vorstellt: $\begin{eqnarray*} (...(fg)' ...)' = d_1(d_2(d_3(...d_n(fg) ...))) \end{eqnarray*}$ . Jetzt geht es darum, wieviele Differentiale f und g "abkriegen" können. Da letzten Endes alle Differentiale $\begin{eqnarray*} d_1, d_2, ..., d_n \end{eqnarray*}$ gleich sind, spielt ihre Reihenfolge vor f bzw. vor g keine Rolle, aber der binomische Satz kommt dadurch hinein, dass sie auf verschiedenen Wegen dorthin gelangen:
$\begin{eqnarray*} d_1(d_2(fg)) = (d_1 d_2 f) g + (d_1 f) ( d_2 g) + (d_2 f) ( d_1 g) + f (d_1 d_2 g) = f''g + 2 f'g' + fg'' \end{eqnarray*}$ .

15.02.2007, 23:30

-felix-

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Ah, ok. Danke sehr!

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