Volumen eines Torus

16.01.2013, 21:16	Phyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines Torus Meine Frage: Es soll das Volumen eine Torus T berechnet werden, definiert ist dieser durch T := { (x, y, z) aus R^3: (wurzel(x^2+y^2) - 2)^2 + z^2 <= 1} Mein Problem ist das ich nicht weiss was ich mit der Definition T anstellen kann, also welche Informationen ich da wie heraus nehme. Um am Ende das Volumen dazu berechnen zu können. Meine Ideen: Ich habe mal nach z umgestellt. Und mir gedacht das wurzel(x^2+y^2) der Radius sein sollte/könnte und daher auch darauf umgestellt. Jedoch bin ich mir dabei sehr unsicher, da ich mir unter dem gegebenem T nichts vorstellen kann. Wäre toll wenn mir jemand bei der grundsätzlichen Lösungsidee helfen könnte, und das gegebene T erläutern könnte. Vielen Dank an alle die Zeit dafür aufbringen konnten!
17.01.2013, 09:28	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man eine zylinderförmige Salami mit dem Radius r und der Länge $\begin{eqnarray} 2\pi R \end{eqnarray}$ und zu einer ringförmigen Salami (Torus) biegt, ist anschaulich klar, dass sich das Volumen der Salami dabei nicht ändert. Man muss also nur das Volumen der zylinderförmigen Salami mit folgender elementaren Formel berechnen $\begin{eqnarray} V=\underbrace{2\pi R}_{\text{Salami-Länge}}\cdot \underbrace{r^2\pi}_{\text{Querschnittsfläche}}=2\pi^2r^2R \end{eqnarray}$ Strengenommen müsste man die Gleichheit der Volumina beider Salamis noch beweisen. --------------------- Die rinförmige Salami (Torus) wird durch folgende Gleichung beschrieben $\begin{eqnarray} \left (\sqrt{x^2+y^2}-R^2 \right )^2+z^2=r^2 \end{eqnarray}$ Du kannst daraus unmittelbar ablesen, dass in deiner Aufgabe der Radius der zylinderförmigen Salami r=1 ist und der Radius der ringförmigen Salami $\begin{eqnarray} R=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ beträgt. Nun setze beides in die obige Formel ein und berechne das Volumen.
17.01.2013, 09:54	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeiner darf man sagen, bei einer Flächenrotation gilt: Vol = Weglänge des Flächenschwerpunktes x Fläche (Regel von Guldini) was hier natürlich dasselbe ist.
17.01.2013, 18:48	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
die begründung für den von ehos vorgeschlagenen weg geht beispielsweise mit dem prinzip des cavalieri. lg
21.01.2013, 15:26	Phyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Beiträge! Jetzt weiss ich zwar, das es sich um etwas handelt, das man auch als Zylinderdarstellen kann, allerdings sollte das ganze mit Integralsätze gelöst werden, und nicht so "schön einfach" wie mit dem Zylinder. Wäre es möglich ganz allgemein die gegebene Gleichung so umzustellen und als Integralgrenzen zu nutzen ohne zu wissen, das ich mir das ganze als Zylinder vorstellen kann? Also mehr oder weniger unabhängig davon, ob ich die Form kenne/verstehe?
22.01.2013, 10:18	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine mögliche Parameterdarstellung des Torus ist folgende (Sieh dir mal die Skizze unter dem Stichwort "Torus" bei WIKIPEDIA an.) $\begin{eqnarray} \vec x(\phi, \alpha , r)=\begin{pmatrix} x(\phi,\alpha,r) \\ y(\phi,\alpha,r) \\ z(\phi,\alpha,r) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sqrt{2}\cos(\phi)+r\cos(\phi)\cos(\alpha) \\ \sqrt{2}\sin(\phi)+r\sin(\phi)\cos(\alpha) \\ r\sin(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} R=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ der Radius der Salami als Ganzes und r=1 der Radius einer Wurstscheibe. Beide Winkel $\begin{eqnarray} \phi, \alpha \end{eqnarray}$ laufen im Interval $\begin{eqnarray} [0;2\pi] \end{eqnarray}$ . Bilde durch Differenzieren der obigen Parameterdarstellung die drei Vektoren $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \alpha} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial r} \end{eqnarray}$ und berechne deren Determinante $\begin{eqnarray} \det(\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi},\tfrac{\partial \vec x}{\partial \alpha},\tfrac{\partial \vec x}{\partial r}) \end{eqnarray}$ . (Das ist mit etwas Rechnerei verbunden.) Das Torusvolumen ist nach der allgemeinen Theorie folgendes Integral $\begin{eqnarray} V=\int_{r=0}^{1}\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\alpha =0}^{2\pi}\det(\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi},\tfrac{\partial \vec x}{\partial \alpha},\tfrac{\partial \vec x}{\partial r})\,\,\,d\alpha d\phi dr \end{eqnarray}$
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05.01.2016, 18:27	Aaron Gon	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Berechnung fällt in die Disziplin der Vektoranalysis. Meine Berechnungen dazu: [attach]40362[/attach] Und noch die Lösungen des letzten Semesters (14/15): Die a) zeigt, dass der Torus eine Manigfaltigkeit ist, was in der Vektoranalysis grundlegend ist. In der b) wird die Oberfläche berechnet und in c) das Volumen. [attach]40357[/attach] [attach]40358[/attach] [attach]40359[/attach] [attach]40360[/attach]

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