Zweiter Moment

16.01.2013, 21:18

Anahita

Zweiter Moment

Hi

Der zweite Moment einer Verteilung ist wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \mu_{2} = E[X^{2}] \end{eqnarray*}$

Schreibe ich den empirischen Mittelwert wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \overline{X} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_{i} \end{eqnarray*}$

für die Stichproben $\begin{eqnarray*} X_{i} \end{eqnarray*}$ aus der Population, so gilt anscheinend, dass man das zweite Moment schreiben kann als:

$\begin{eqnarray*} \mu_{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X - \overline{X})^{2} \end{eqnarray*}$

Darauf komme ich einfach nicht! Ich weiss dass für die Varianz einer Zufallsvariable gilt:

$\begin{eqnarray*} Var[X] = E[X^{2}] - E[X]^{2} \end{eqnarray*}$

und habs damit probiert, bin aber nicht weit gekommen.

Danke!

A

18.01.2013, 10:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Anahita
so gilt anscheinend, dass man das zweite Moment schreiben kann als:

$\begin{eqnarray*} \mu_{2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (X - \overline{X})^{2} \end{eqnarray*}$

Mit dieser Formel vermag ich nichts anzufangen, es ist aber mit Sicherheit kein erwartungstreuer Schätzer für das zweite Moment, geschweige denn das zweite Moment selbst. Mit anderem Vorfaktor versehen ist aber

$\begin{eqnarray*} S^2 := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X - \overline{X})^2 \end{eqnarray*}$

ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \end{eqnarray*}$ , eine Beweisskizze dazu kannst du hier finden. Vielleicht verwechselst du das damit.

18.01.2013, 11:48

Anahita

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Hi

Ich hatte gedacht, dass sei das zweite Moment, stattdessen ist das der Momentenschätzer für die Varianz (danke für den Tipp), und dieser ist natürlich nicht erwartungstreu.

Vielen Dank!

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