Varianz einer Summe von Zufallsvariablen

16.01.2013, 22:30	blackboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz einer Summe von Zufallsvariablen Meine Frage: Ich habe Schwierigkeiten die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen zu berechnen. Und zwar ist in der Aufgabe $\begin{eqnarray} \sqrt{V[X_{i}]} = 50 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i = 1,...,5 \end{eqnarray}$ gegeben. Außerdem sei der Korrelationskoeffizient von $\begin{eqnarray} X_{i}X_{j} = 0,4 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \neq j \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} Y = \sum\limits_{i=1}^5 X_{i} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} V[Y] = V[\sum\limits_{i=1}^5 X_{i}] = \sum\limits_{i=1}^5 V[X_{i}] + 2 \sum\limits_{i=1}^5 \sum\limits_{j=i+1}^5 Cov[X_{i},X_{j}] \end{eqnarray}$ Wir kann ich das jetzt ausrechnen? Für $\begin{eqnarray} Cov \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} 0,450² \end{eqnarray*}$ raus. Allerdings komme ich bei der Berechnung der Varianz mit dem Summenzeichen nicht klar. Wer kann mir helfen?
17.01.2013, 01:58	dinzeooo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz einer Summe von Zufallsvariablen einfach die erste summe auflösen, danach die zweite. (die erste summe läuft übrigens bis 4 und nicht bis 5): hier mal der anfang: $\begin{eqnarray} 2 \sum\limits_{i=1}^4\sum\limits_{j=i+1}^5 Cov[X_{i},X_{j}]= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2(\sum\limits_{j=1+1}^5 Cov[X_{1},X_{j}]+\sum\limits_{j=2+1}^5 Cov[X_{2},X_{j}]+\sum\limits_{j=3+1}^5 Cov[X_{3},X_{j}]+\sum\limits_{j=4+1}^5 Cov[X_{4},X_{j}])=\dots \end{eqnarray}$
17.01.2013, 07:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Schritt wäre zunächst, die Kovarianz $\begin{eqnarray} \operatorname{Cov}[X_i,X_j] \end{eqnarray}$ auszurechen, was natürlich über die Formel $\begin{eqnarray} \operatorname{Cor}[X_i,X_j] = \frac{\operatorname{Cov}[X_i,X_j]}{\sqrt{V[X_i]\cdot V[X_j]}} \end{eqnarray}$ geschieht. Da diese Kovarianzen alle gleich groß sind, muss man dann bei der erwähnten Kovarianz-Doppelsumme nur durchzählen, wieviel Summenglieder sie enthält. Auch die Varianzen sind einander gleich groß, so dass man kurz und bündig $\begin{eqnarray} V[Y] = V\left[\sum_{i=1}^5 X_i\right] = 5V[X_1] + 5\cdot 4\cdot \operatorname{Cov}[X_1,X_2] \end{eqnarray}$ schreiben kann, wobei $\begin{eqnarray} V[X_1] \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \operatorname{Cov}[X_1,X_2] \end{eqnarray}$ exemplarisch für die jeweils gleichen Varianzen bzw. Kovarianzen stehen.

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