Grenzwert berechnen

16.01.2013, 23:27

Lisa88

Grenzwert berechnen

Hallo.

Ich versuche mich an einigen Grenzwertaufgaben.

1.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n!^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Ansatz:

Zu 1:

Ich weiß, dass n^n schneller wächst als n!, also wird der Nenner immer größer und der Grenzwert ist 0. Aber so wäre das zu einfach. Ich muss beweisen, dass n^n schneller wächst als n!, oder? Aber wie mache ich das. Wäre vollständige Induktion der richtige Ansatz?

Zu 2:

n! läuft gegen unendlich, aber der Exponent läuft gegen 0.
Also müsste das ganze gegen 1 laufen, oder?

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen smile

16.01.2013, 23:35

Che Netzer

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RE: Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von Lisa88
Wäre vollständige Induktion der richtige Ansatz?

Zu 2:

n! läuft gegen unendlich, aber der Exponent läuft gegen 0.
Also müsste das ganze gegen 1 laufen, oder?[/quote]
Nein zu beidem.
Zum ersten Grenzwert benutze
$\begin{eqnarray*} n!=\underbrace{2\cdot3\dotsm n}_{n-1\ \text{Faktoren}}\,. \end{eqnarray*}$

Beim zweiten kannst du die Exponentialfunktion verwenden.

16.01.2013, 23:44

Lisa88

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RE: Grenzwert berechnen
Hallo Che Netzer, und vielen Dank für deine Hilfe.

Zu 1:

Und wie genau soll mir das weiterhelfen?
Im Zähler sind n-1 Faktoren und im Nenner n Faktoren, aber wegkürzen kann ich da nichts außer das n. Dann sind im Zähler n-2 Faktoren und im Nenner n-1.

Zu 2:

Wie soll mir hier die Exponentialfunktion helfen?

PS.
Es wäre nett, wenn du nicht einfach nein schreiben würdest, sondern erklären könntest warum. Sonst bleibt mein Denkfehler und ich habe nicht viel weitergelernt.

16.01.2013, 23:52

Che Netzer

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RE: Grenzwert berechnen
Zu 1. kannst du aber eine Abschätzung vornehmen.

Zu 2. kannst du mal versuchen, alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ s in einen Exponenten zu bringen.
Wobei hier aber vielleicht auch eine Abschätzung einfacher wäre.

Zu deinen Ansätzen: Was bitte würdest du denn per Induktion beweisen wollen?
Und wenn die Basis gehen Unendlich geht, der Exponent aber gegen Null, sagt das nichts über das Konvergenzverhalten aus.
Gegenbeispiele ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^n}=n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

17.01.2013, 00:07

Lisa88

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RE: Grenzwert berechnen
Zu 1:

Meinst du das Sandwich-Kriterium?

Zu 2:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{n}\cdot ln n!} \end{eqnarray*}$

Meinst du so?

Und wie genau soll mir das nun weiterhelfen?

Vielen lieben Dank für die Erklärung smile

Ps. Mit Induktion wollte ich zeigen das n^n > n! und deshalb ist der Nenner größer als der Zähler und es müsste gegen 0 konvergieren.

17.01.2013, 01:03

10001000Nick1

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RE: Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von Lisa88
Mit Induktion wollte ich zeigen das n^n > n! und deshalb ist der Nenner größer als der Zähler und es müsste gegen 0 konvergieren.

So geht das nicht, denn erstens zeigst du das mit Induktion nur für natürliche Zahlen.
Zweitens: Beispielsweise ist 2>1, aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , und nicht 0. Es reicht also nicht, dass der Nenner größer ist als der Zähler.

17.01.2013, 18:35

Lisa88

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RE: Grenzwert berechnen
Okay, das habe ich verstanden, danke Nick.

Kann mir nun jemand bei 1 bitte weiterhelfen?

17.01.2013, 18:52

Screwhal

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RE: Grenzwert berechnen
Hi Lisa88
Ich würde dir raten mit 2) anzufangen:
Bedenke dass wenn der Grenzwert existiert Folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ . Berechne dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)!}{n!} \end{eqnarray*}$ alternativ kannst du n! nach unten durch $\begin{eqnarray*} (n/2)^{n/2} \end{eqnarray*}$ (erste Hälfte nach unten durch 1 und zweite Hälfte nach unten durch n/2 abschätzen) abschätzen und nach oben durch $\begin{eqnarray*} (n)^{n} \end{eqnarray*}$ abschätzen.

17.01.2013, 18:52

Mulder

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RE: Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von Lisa88
Kann mir nun jemand bei 1 bitte weiterhelfen?

Da kam doch schon Hilfe zu. Ja, mit dem Sandwichkriterium kannst du hier argumentieren. Du brauchst nur noch eine passende Abschätzung (ist gar nicht schwer, versuch's mal).

17.01.2013, 19:36

Screwhal

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RE: Grenzwert berechnen
Bei 1) würde ich dir raten mit der Stirling-Formel abzuschätzen will sagen n! verhält sich im Grenzwert wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pi n} \cdot (\frac{n}{e})^n \end{eqnarray*}$ und dann ist der Grenzwert tatsächlich Null, genauer ist es sogar eine Nullfolge.

17.01.2013, 19:42

Screwhal

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RE: Grenzwert berechnen
Oder noch einfacher : n!=n*(n-1)...*1 dann hast du n-Faktoren. Schätze einfach alle bis auf das letzte Glied nach oben ab dann erhälst du mit dem Sandwichsatz:
$\begin{eqnarray*} 0\leq a_n \leq \frac{n^{n-1} }{n^{n} }=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und dann noch Grenzwert bestimmen

17.01.2013, 20:12

Lisa88

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RE: Grenzwert berechnen
Hallo mulder und Screwhal smile

Zu 1:

Meint ihr das so?

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac{n^{n-1}}{n^n} \end{eqnarray*}$

Zu 2:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{n}\cdot ln n!}=e^{\frac{ln n!}{n}} =e^{ln (n-1)!} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

Der Exponent geht gegen unendlich, oder?

17.01.2013, 20:56

Screwhal

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RE: Grenzwert berechnen
Ja genau. Bei 2) musst du aber Kentnisse über exp und ln vorraussetzen. Ich meine damit dass du wissen musst dass exp und ln stetig sind und du daher dem Limes reinziehen darfst, was allgemein nicht gilt! Daher hatte ich dir empfohlen den äußerst praktischen Satz $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ , d.h.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} = \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)!}{n!}=\lim_{n \to \infty } n+1=\infty \end{eqnarray*}$ zu benutzen. Wenn du dich aber schon mit exp und ln auskennst ist das auch eine gute Methode um den Grenzwert zu finden. Das gilt auch allgemein für Funktionen der Art (bal(x))^x

17.01.2013, 23:42

Ungewiss

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Alternativ kannst du auch die Ungleichung vom arithmetischen-geometrischen Mittel benutzen, die liefert nämlich
$\begin{eqnarray*} 0\leq n!^{-n}\leq \sum_{i=1}^n\frac{1}{in} \end{eqnarray*}$ .

Da die rechte Seite gegen 0 konvergiert als Cesaro-Limes von $\begin{eqnarray*} (\frac1i)_{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , ergibt sich der gesuchte Grenzwert.

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