Probleme bei Prozentannuitäten

16.01.2013, 23:53

Mike24681012

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Probleme bei Prozentannuitäten

Hallo,

ich versuche schon seit ein paar Tagen verschiedene Faktoren eines Annuitätendarlehens auszurechnen, scheitere aber bisher klaeglich bereits an den Basics. Ich muss dazu sagen das bei mir Schulzeit schon ueber 10 Jahre her ist und ich bereits etwas eingerostet bin.

Meine Infos/Formeln habe ich mir aus einem FiMa Skript von Fr. Waike Moos gezogen. Meine Ergebnisse vergleiche ich mit OnlineRechnern (zB http://www.zinsen-berechnen.de/hypothekenrechner.php) und muss feststellen das keines meiner Ergebnisse stimmt (oder doch)?

Gegeben:
Darlehen 80000€
Zinssatz: 5 %
Tilgung: 7 %

Gesucht:
1. Annuität
2. Restschuld zu Beginn des 8 Jahres
3. Laufzeit bis zur vollstaendigen Rückzahlung

Meine Lösung (bzw. zum Grossteil aus dem Skript)
1. Annuität
Formel: A= (i+it)*S
wobei i = nom. Zinssatz, it= Tilgungssatz, S= Darlehen

Ergebnis A = 9600

Dies sollte soweit korrekt sein.

2. Restschuld
Formel: $\begin{eqnarray*} RS=S*[1-\frac{it}{i} (q^{k-1}-1)] \end{eqnarray*}$

(Mein) Ergebnis: 34404,75
wobei
i=0.05, it=0.07,q=1.05,k=8,S=80000.

Und hier geht mein Drama bereits los.
Gebe ich obige Zahlen in einen Onlinerechner ein (zb hier kommt als Ergebnis:
33179,93 ???

Aehnliches bei der Laufzeit

3. Laufzeit
Formel: (ln(A)-ln(t1))/ln(q)
(Mein) Ergebnis: 11,047 d.h. 11 Jahre und ein "paar" Monate

Ergebnis des Onlinerechners: 12 Jahre

Waer jemand so nett und koennte mir erklaeren wo mein Fehler liegt?

17.01.2013, 07:38

Kasen75

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Hallo,

du bist von einem festen Prozentsatz der Annuitäten ausgegangen. Ich habe hier folgende Ergebnisse:

Zinssatz Tilgungssatz
5,00% 7,00%

Jahr---------- Restschuld----------------- Zinsen------- Tilgung------Annuität
1-------------- 80.000,00----------------- 4.000,00--- 5.600,00--- 9600
2-------------- 74.400,00 -----------------3.720,00--- 5.880,00---- 9600
3-------------- 68.520,00----------------- 3.426,00--- 6.174,00---- 9600
4-------------- 62.346,00----------------- 3.117,30--- 6.482,70 ----9600
5-------------- 55.863,30----------------- 2.793,17--- 6.806,84---- 9600
6-------------- 49.056,47----------------- 2.452,82--- 7.147,18---- 9600
7-------------- 41.909,29----------------- 2.095,46--- 7.504,54---- 9600
8-------------- 34.404,75----------------- 1.720,24--- 7.879,76---- 9600
9-------------- 26.524,99----------------- 1.326,25--- 8.273,75---- 9600
10-------------18.251,24 ----------------- 912,56--- 8.687,44---- 9600
11-------------9.563,80------------------- 478,19--- 9.121,81---- 9600
12-------------441,99--------------------- 22,10--- 9.577,90---- 9600
13-------------- -9.135,91 --------------- -456,80--- 10.056,80---- 9600

Sie stimmen mit deinen Ergebnissen überein.

Der Rechner geht von folgender Formel aus:

$\begin{eqnarray*} \text{Restchuld am Jahresende im Jahr n}=D \cdot {(1+i)}^n+a \cdot \frac{{(1+i)}^n-1}{i} \end{eqnarray*}$

D=Darlehensbetrag
a=Annuität (negativ)

Zu berechnen ist hier a, indem man die Gleichung Null setzt. Die Laufzeit ist vorgegeben, was bei deiner Variante nicht der Fall ist.

Fazit: Es gibt mehrere Varianten einer Annuitätenrechnung.

Grüße.

17.01.2013, 08:37

Mike24681012

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Hallo Kasen,

vielen Dank fuer deine Antwort - so ganz verstehe ich es allerdings noch nicht.

Wenn ich deinen Tilgungsplan ansehe, ist zB die Tilgung im 1.ten Jahr 5600. Ich komme auf das gleiche Ergebnis. Der Onlinerechner kommt bei gleichen Ausgangszahlen auf den Betrag 5730,13.

Da kann doch etwas nicht richtig sein (7% von 80000 sind doch 5600, oder?) oder nach was fuer einem System wird hier gerechnet und warum?

Wenn ich nun die von dir ermittelte Formel nehme:
a bzw. die Annuität habe ich ja oben schon ausgerechnet d.h.
a=-9600 (?)
i=0.05
D=80000
n=10

komme ich auf utpoische Ergebnisse (1.302*10^5 usw.) das eigentlich nicht stimmen kann.

Kannst Du mir erklaeren was Du mit
"a berechnen indem man die Gleichung auf 0 setzt." genau meinst?
Ich habe mal versucht nach a aufzuloesen - bekomme es aber nicht hin. :-(

Ansonsten hab ich mich auf die Suche nach obiger Formel gemacht (Wikipedia, Skripte usw.) aber nirgends gefunden. Wie kommt man auf sowas?

PS: Sorry, fuer die vielen (bloeden) Fragen. Meine Schulzeit liegt schon lange zurueck und ich bin aus aktuellen Anlass gerade dabei mich wieder bischen einzuarbeiten.

Vielen Dank schon mal.

17.01.2013, 11:31

Kasen75

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Hallo,

wie gesagt, der Onlinerechner hat eine andere Annuitätenrechnung. Deshalb kannst du es mit deinen ermittelten Werten nicht vergleichen, da er von einer anderen Formel ausgeht. Beim Online-Rechner sind die Jahre (n) immer fest vorgegeben. Bei deiner Formel nicht.

Meine Formel ist die des Online-Rechners:

$\begin{eqnarray*} \text{Restchuld am Jahresende im Jahr n}=D \cdot {(1+i)}^n+a \cdot \frac{{(1+i)}^n-1}{i} \end{eqnarray*}$

Hier ist fest vorgegeben nach wieviel Jahren (n) , die Schuld beglichen ist. Das ist bei Dir nicht so. Die Annuität (a) dagegen ergibt sich aus der Formel.

Um jetzt meine Formel nach a umzustellen kann man so vorgehen:

Gleichung Null setzen.

$\begin{eqnarray*} D \cdot {(1+i)}^n+a \cdot \frac{{(1+i)}^n-1}{i}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D \cdot {(1+i)}^n=-a \cdot \frac{{(1+i)}^n-1}{i} \ \ \ \ | \cdot i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D \cdot {(1+i)}^n \cdot i=-a \cdot {(1+i)}^n+a \ \ \ \ \ | \textrm{a ausklammern} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D \cdot {(1+i)}^n \cdot i=a \cdot(- {(1+i)}^n+1) \ \ \ \ \ | : (1-{(1+i)}^n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{D \cdot {(1+i)}^n \cdot i}{1-{(1+i)^n}}=-a \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du a ausrechnen, indem du deine Werte für n,i und D einsetzt.

Grüße.

17.01.2013, 12:47

Mike24681012

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Hallo Kasen,

vielen Dank fuer deine Geduld. smile

smile

Ich hab nun die Formel fuer a mit folgenden Werten verwendet:
D=80000
i=0.05
n=8

Ergebnis -a=-12377.74509

Diesen Wert setze ich nun in die Formel fuer "Restschuld am Jahresende" ein.
D=80000
i=0.05
n=8
a=12377.74509

Mein Ergebnis Rk = 236692,8711

Ich hab das Gefuehl das das nicht ganz richtig ist, oder?

17.01.2013, 13:08

Kasen75

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Dein Wert für a stimmt. Freude

Freude

Hast du denn auch den negativen Wert für a in die Formel eingesetzt?
Denn genau genommen ist das Ergebnis: a=-12377.74509

Dann könnte es klappen. smile

smile

Es muss mehr oder weniger 0 herauskommen bei n=8.

Grüße.

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17.01.2013, 13:18

Kasen75

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Noch eine Ergänzung:

Dein Online-Rechner hat dieselbe Annuität raus. smile

smile

17.01.2013, 14:11

Mike24681012

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Nachdem ich nun fuer a = -12377,74509 eingesetzt habe (vorher hatte ich -a=-12377,74509) bekomme ich als Ergebnis -0.0001 raus. verwirrt

verwirrt

Das heisst dann, das der Kredit im 8 Jahr vollstaendig getilgt ist.
Das kommt daher das ich bei der Berechnung der Annuität ebenfalls n=8 angegeben habe, oder?

Berechne ich nun die Restschuld nach 5 Jahren bekomme ich als Ergebnis
RK=33707.67005

Vergleich ich das wiederrum aber mit dem Onlinerechner hat dieser wieder einen anderen Wert (49.056,47).

Sollte nun nicht das gleiche Ergebnis rauskommen? Tränen

Tränen

17.01.2013, 17:41

Kasen75

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Hallo,

du schreibst:

Zitat:

Das kommt daher das ich bei der Berechnung der Annuität ebenfalls n=8 angegeben habe, oder?

Genau.

Freude

Das ist ja der Sinn der ganzen Veranstaltung. Man will ja, dass es nach 8 Jahren die Schulden getilgt sind.

Du hast als Ergebnis, nach 5 Jahren, eine Restschuld von 3.3707,67005 GE. Das ist genau das, was auch der Online-Rechner hat. smile

smile

Da du anscheinend Probleme mit dem Rechner hast, hänge ich mal ein Bild von dem Output dran.

Grüße.

17.01.2013, 19:17

Mike24681012

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Hallo Kasten,

ja, irgendwas stimmt da nicht. Also ich rufe diese Seite auf und gebe folgende Daten ein:

Darlehensbetrag: 80000
Sollzinssatz: 5 %
Tilgung: 7%
Laufzeit der Ratenzahlung: 8 Jahre
(siehe Anhang)

Dieses Ergebnis versuche ich mit Formeln nachzustellen bzw. selber auszurechnen, komme aber nicht hin.

Darum auch vorhin meine Frage
"Das kommt daher das ich bei der Berechnung der Annuität ebenfalls n=8 angegeben habe, oder?"
Beim Onlinerechner hab ich nach 8 Jahren eine Restschuld von 25054,43.
traurig

traurig

17.01.2013, 21:28

Kasen75

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Schau einfach mal, was ich eingegeben habe. Dann siehst du auch, dass das Ergebnis von deinem ersten Beitrag (deine Formel) richtig war.
Des Weiteren lade ich mal eine Tabelle hoch. In der grünen Spalte steht deine Formel explizit in den Zellen drin.

Bei der zweiten Tabelle wurde die Formel angewendet, die ich angegeben hatte. Jedoch habe ich sie nicht explizit eingegeben. Die Werte ergeben sich iterativ. Die Zahlen sind aber richtig.
Ich hoffe es hilft. smile

smile

Grüße.

17.01.2013, 21:54

Mike24681012

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Hi Kasten,

vielen,vielen Dank fuer deine Muehe - ich hab nun mein Problem gefunden.
Ich hab im Onlinerechner ein monatliches Ratenintervall ausgewaehlt - mit der Formel hab habe ich allerdings die Restschuld bei jaehrlicher Ratenzahlung berechnet, ne? :-)
Wenn ich den Onlinerechner umstelle stimmen meine Werte ueberein. Tanzen

Tanzen

Was muesste ich den an der Formel aendern wenn ich eine monatliches/vierteljaehrliches/halbjaehrliche Ratenzahlung haette?

PS: Die Zip-Datei im Anhang ist eine OpenOffice-File oder?

17.01.2013, 22:19

Kasen75

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Da muss ich kurz noch mal nachdenken. Redest du von deiner oder meiner Formel? Oder beiden? Ich werde mal morgen meine Überlegungen dazu posten.

Ich kann die verschlüsselte Datei selber gar nicht öffnen. unglücklich

unglücklich

Du wahrscheinlich auch nicht.
Auch dazu morgen mehr.

Du kannst ja inzwischen dir überlegen, wie du herausbekommt, in welchem Jahr hier $\begin{eqnarray*} RS=S*[1-\frac{it}{i} (q^{k-1}-1)] \end{eqnarray*}$ die Restschuld 0 ist.
Hier muss man die Formal nach k umstellen, wobei RS=0 ist.
Bei dem Online-Rechner kannst du es dann, mit den gegebenen Werten, die Formel überprüfen. Du musst eben nur genügend Jahre einstellen.

Grüße.

17.01.2013, 23:22

Mike24681012

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Hmm.....gute Frage.

Ich glaube ich rede von meiner Formel, da dort die Laufzeit noch nicht feststeht und ich diese zum Beispiel auch berechnen moechte. Deine Formel waere eine Volltilgung auf x-Jahren, oder?

Zum Hintergrund vielleicht auch:
Als angehender "Haeuselbauer" moechte ich mir so eine Art Excel-File zusammenbauen mit dessen Hilfe ich alle Daten fuer eine Finanzierung berechnen kann (Laufzeit, Restschuld nach Ablauf der Zinsbindung, Zinsaufwendungen usw.).

Zur Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} RS=S*[1-\frac{it}{i}(q^{k-1}-1)] \end{eqnarray*}$ |:S (zuerst durch S dividieren)

$\begin{eqnarray*} \frac{RS}{S} =1-\frac{it}{i}(q^{k-1}-1) \end{eqnarray*}$ |-1 (minus 1)

$\begin{eqnarray*} \frac{RS}{S}-1 =-\frac{it*(q^{k-1}-1)}{i} \end{eqnarray*}$ |*i (mit i multiplizieren)

$\begin{eqnarray*} i*(\frac{RS}{S}-1) =-it*(q^{k-1}-1) \end{eqnarray*}$ | : it (durch it dividieren)

$\begin{eqnarray*} \frac{i*(\frac{RS}{S}-1)}{it} =-q^{k-1}+1 \end{eqnarray*}$ | -1

$\begin{eqnarray*} \frac{i*(\frac{RS}{S}-1)}{it}-1 =-q^{k-1} \end{eqnarray*}$ | nach k aufloesen

$\begin{eqnarray*} k=\frac{ln(-\frac{i*(\frac{RS}{S}-1)}{it}+1)}{ln(q)} \end{eqnarray*}$

Bei folgenden Werten
RS=0
S=80000
i=0.05
it=0.07
q=1.05

bekomme ich dann als Wert fuer k 12.04723687.

Laut Onlinerechner koennte das stimmen.

18.01.2013, 16:59

Kasen75

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Hallo,

bis auf den letzten Schritt habe ich etwas anderes heraus.
$\begin{eqnarray*} k=\frac{ln\bigg( \frac{q \cdot i}{i_t}\cdot( 1-\frac{RS}{S}) +q\bigg)}{ln(q)} \end{eqnarray*}$
Wenn ich die Werte einsetze, dann bekomme ich auch 12,04 heraus. Das kann aber Zufall sein. Ich denke, du hast den Exponenten -1 bei $\begin{eqnarray*} q^{k-1} \end{eqnarray*}$ nicht richtig verarbeitet.
Da RS sowieso Null ist kann man auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} k=\frac{ln\bigg( \frac{q \cdot i}{i_t} +q\bigg)}{ln(q)}=\frac{ln\bigg( \frac{1,05 \cdot 0,05}{0,07} +1,05\bigg)}{ln(1,05)} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt zwei Dateien angefertigt.
Die eine Datei ist bei jährlichen Raten (1 Tabellenblatt)
Die andere Datei ist bei monatlichen Raten (2 Tabellenblätter)

Bei beiden Dateien ist einmal deine Formel als auch meine Formel als Tabelle enthalten. Die Formel für die jährliche Annuität war ja:

Eingabefelder sind nur die gelb unterlegten Felder.

Bei deiner Formel kommt man auf die monatlichen Annuitäten, indem man die die jährliche Annuität durch 12 teilt. Die jährliche Annuität war ja.

$\begin{eqnarray*} a= (i+i_t) \cdot S \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} a_m=\frac{(i+i_t) \cdot S}{12} \end{eqnarray*}$

Die Zinsen und Tilgungen im ersten Jahr ergeben sich aus dem Verhältnis aus $\begin{eqnarray*} i_t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ multipliziert mit der monatlichen Annuität $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ .

Zinsen im ersten Monat: $\begin{eqnarray*} Z_1=\frac{i}{i+i_t} \cdot a_m \end{eqnarray*}$

Tilgung im ersten Monat: $\begin{eqnarray*} T_1=\frac{i_t}{i+i_t} \cdot a_m \end{eqnarray*}$

Um meine Formel für die Monatsraten zu verwenden, muss man nur für m die Anzahl Monate einsetzen und den Zinssatz i durch 12 teilen:

$\begin{eqnarray*} \text{Restchuld am Monatsende im Monat 12}=D \cdot {(1+\frac{i}{12})}^{m}+a \cdot \frac{{(1+\frac{i}{12})}^m-1}{\frac{i}{12}} \end{eqnarray*}$

Grüße.

18.01.2013, 17:00

Kasen75

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Hallo,

bis auf den letzten Schritt habe ich dasselbe heraus.
$\begin{eqnarray*} k=\frac{ln\bigg( \frac{q \cdot i}{i_t}\cdot( 1-\frac{RS}{S}) +q\bigg)}{ln(q)} \end{eqnarray*}$
Wenn ich die Werte einsetze, dann bekomme ich auch 12,04 heraus. Das kann aber Zufall sein. Ich denke, du hast den Exponenten -1 bei $\begin{eqnarray*} q^{k-1} \end{eqnarray*}$ nicht richtig verarbeitet.
Da RS sowieso Null ist kann man auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} k=\frac{ln\bigg( \frac{q \cdot i}{i_t} +q\bigg)}{ln(q)}=\frac{ln\bigg( \frac{1,05 \cdot 0,05}{0,07} +1,05\bigg)}{ln(1,05)} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt zwei Dateien angefertigt.
Die eine Datei ist bei jährlichen Raten (1 Tabellenblatt)
Die andere Datei ist bei monatlichen Raten (2 Tabellenblätter)

Bei beiden Dateien ist einmal deine Formel als auch meine Formel als Tabelle enthalten.

Eingabefelder sind nur die gelb unterlegten Felder.

Bei deiner Formel kommt man auf die monatlichen Annuitäten, indem man die die jährliche Annuität durch 12 teilt. Die jährliche Annuität war

$\begin{eqnarray*} a= (i+i_t) \cdot S \end{eqnarray*}$ .

Somit ist $\begin{eqnarray*} a_m=\frac{a}{12} \end{eqnarray*}$

Die Zinsen und Tilgungen im ersten Monat (nicht Jahr) ergeben sich aus dem Verhältnis aus $\begin{eqnarray*} i_t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ multipliziert mit der monatlichen Annuität $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ .
edit: blauer Text geändert.

Zinsen im ersten Monat: $\begin{eqnarray*} Z_1=\frac{i}{i+i_t} \cdot a_m \end{eqnarray*}$

Tilgung im ersten Monat: $\begin{eqnarray*} T_1=\frac{i_t}{i+i_t} \cdot a_m \end{eqnarray*}$

Die Zinsen der weiteren Jahre ergeben sich aus dem Monatszinssatz $\begin{eqnarray*} i_m=\frac{i}{12} \end{eqnarray*}$ multipliziert mit der Restschuld. Die jeweilige Tilgung aus der Differenz von Annuität und Zinsen.

Um meine Formel für die Monatsraten zu verwenden, muss man nur für m die Anzahl Monate einsetzen und den Zinssatz i durch 12 teilen:

$\begin{eqnarray*} \text{Restchuld am Monatsende im Monat m}=D \cdot {(1+\frac{i}{12})}^{m}+a \cdot \frac{{(1+\frac{i}{12})}^m-1}{\frac{i}{12}} \end{eqnarray*}$

Grüße.

20.01.2013, 15:55

Mike24681012

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Hallo Kasen,

ich habe nun zwei Tage rumgerechnet komme aber nicht so recht ans Ziel. Teile ich die Annuität A durch 12 bekomme ich die monatliche Annuität a und dadurch auch Z1 und T1.
Dadurch kann ich iterativ (also Zeile fuer Zeile wie in deinen Excel-Files) den Tilgungsplan errechnen und komme auf die korrekte Restschuld pro Jahr.

Meine Ueberlegung war dann:
Gibts auch eine Formel mit der ich bei den gegebenen Werten direkt das Ergebnis zb fuer "Restschuld im Jahr X" bei m Zahlungsabschnitten (also 12 fuer monatlich, 4 fuer quartalsweise usw.) ausrechnen kann (sprich wie im Onlinerechenr)?

Ich hab daher dann versucht meine alte Formel (die bei jährlichen Zahlungen ja korrekt ist) auf monatliche usw. umzustellen.

Die ursprüngliche Formel fuer die Restschuld im Jahr k(für jährliche Zahlungen) lautet ja:
$\begin{eqnarray*} RS = S*[1-\frac{it}{i} (q^{k-1}-1)] \end{eqnarray*}$

Idee waere gewesen it,u und q durch 12 zu teilen (wie Du das bei deiner Formel gemacht hast) wobei das aber nicht korrekt zu sein scheint (Ergebnis nicht vergleichbar mir Onlinerechner).

Zu guter letzt hab ich dann via Google nach "Unterjährliche Prozentannuitätentilgung vorschüssig/nachschüssig" gesucht wobei es einige Treffer gibt aber auch hier kein Beispiel finde das ich fuer mich verwenden koennte. :-(

21.01.2013, 09:59

Kasen75

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Guten morgen,

hier habe folgende Formel für die monatliche Tilgung ermittelt:

$\begin{eqnarray*} \text{jährliche Annuität}=a=(i+i_t) \cdot S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{monatliche Annuität}=a_m=\frac{a}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Tilgung im Monat j}=T_j=a_m \cdot \frac{i_t}{i_t+i} \cdot \bigg( 1+\frac{i}{12} \bigg)^{j-1} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Formel auch in die Tabelle geschrieben. Da siehst du, dass die Werte den Werten gleichen, die iterativ ermittelt wurden.

Des Weiteren habe ich die Tabelle so angepasst, dass die Annuität automatisch angepasst wird. Das war bei der letzten Version nicht so.

Grüße.

21.01.2013, 22:39

Mike24681012

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Hallo Kasten,

Durch deine Formel bekomme ich die Tilgung im Monat j,
die Formel fuer die Zinsen im Monat j hab ich nach gleichem Schema ermittelt:

$\begin{eqnarray*} Z_{j} = a_{m} * \frac{i}{i+t} * (1+\frac{i}{12})^{j-1} \end{eqnarray*}$

Um nun die Restschuld zu ermitteln wuerde ich von S0 (also der Kreditschuld) die Summe aller Tilgungen abziehen, in etwa so:

$\begin{eqnarray*} RS = S0 - k*(a_{m} * \frac{i}{i+t} * (1+\frac{i}{12})^{12*k-1}) \end{eqnarray*}$

wobei k hier das Jahr bedeutet.
Obige Formel stimmt jetzt aktuell nicht - ich lese mich aber gerade in das Thema Folgen und Reihen ein - dauert nur noch etwas.

Ich habe nun noch parallel probiert meine alte Formel umzuformen bzw. einfach durch 12 zu teilen
$\begin{eqnarray*} RS = S * [1-\frac{it}{i}(q^{k-1}-1)) \end{eqnarray*}$ -->

$\begin{eqnarray*} RS = S * [1-\frac{\frac{it}{12}}{\frac{it}{12}}(\frac{q^{k-1}}{12}-1)) \end{eqnarray*}$

und es kommt nun doch das korrekte Ergebnis (lt. Onlinerechner) raus.
Wahrscheinlich hatte ich mich beim ersten mal verrechnet.

VG

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