Nach x auflösen

17.01.2013, 01:10

nuc

Nach x auflösen

Hallo!
Wie kann ich diese Gleichung nach x auflösen?:

tan(x) + cot(x) < -2

ich habe schon ein bisschen rumprobiert aber es hat mir bei der Lösung leider nicht geholfen..

Danke schonmal im vorraus smile

17.01.2013, 09:05

Bürgi

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RE: Nach x auflösen
Du siehst sicherlich, dass der zweite summand der Kehrwert des ersten Summanden ist.
Wenn Du $\begin{eqnarray*} y = \tan(x) \end{eqnarray*}$ setzt, dann wird Deine Gleichung zu:

$\begin{eqnarray*} y + \frac1y = -2 \end{eqnarray*}$

Nach y auflösen. Anschließend re-substituieren, aber hier wirklich ganz präzise arbeiten!

17.01.2013, 09:43

Mystic

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RE: Nach x auflösen

Zitat:

Original von Bürgi
Wenn Du $\begin{eqnarray*} y = \tan(x) \end{eqnarray*}$ setzt, dann wird Deine Gleichung zu[...]

Das Problem ist nur, es ist keine Gleichung, sondern eine Ungleichung, und der Wert -2 auf der rechten Seite ist nicht einmal zugelassen!... geschockt

17.01.2013, 17:19

nuc

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@Bürgi: Ja kann ich nachvollziehen

@Mystic: Und was heißt das jetzt? Ist die Aufgabe nicht lösbar? Wieso ist <-2 nicht zugelassen?

17.01.2013, 18:26

Mystic

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RE: Nach x auflösen

Zitat:

Original von nuc
Wie kann ich diese Gleichung nach x auflösen?:

tan(x) + cot(x) < -2

Ist das jetzt eine Gleichung oder Ungleichung? Ich sehe jedenfalls kein Gleichheitszeichen...

17.01.2013, 18:43

nuc

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Ist natürlich eine Ungleichung; ich habe mich im ersten Post falsch ausgedrückt!

17.01.2013, 18:50

Mystic

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Zitat:

Original von nuc
Ist natürlich eine Ungleichung; ich habe mich im ersten Post falsch ausgedrückt!

Hm, bin nun total verwirrt, denn im ersten Post steht ja eine Ungleichung... geschockt

17.01.2013, 19:13

nuc

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Zitat:

Original von Mystic
Hm, bin nun total verwirrt, denn im ersten Post steht ja eine Ungleichung... geschockt

Hä, deshalb habe ich mich ja im vorherigen korrigiert um klarzustellen, dass es sich tatsächlich um eine Ungleichung handelt:

tan(x) + cot(x) < -2

17.01.2013, 19:22

Mystic

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Aber es macht natürlich unabhängig davon trotzdem Sinn, zunächst die Gleichung zu betrachten, da man daraus für die zu lösende Ungleichung wertvolle Einsichten gewinnt, innerhalb welcher Grenzen sie gelten kann...

17.01.2013, 23:00

Mathe-Maus

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Gestattet eine kleinen Einwurf von mir ...

Hatte tan und cot brav aufgelöst mit sin und cos, dann gemeinsamen Hauptnenner, etwas umformen und Additionstheoreme anwenden ...
.. und es ging super auf ... (ja, auch mit dem "<" - Zeichen) Wink

17.01.2013, 23:47

Mystic

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Zitat:

Original von Mathe-Maus
Hatte tan und cot brav aufgelöst mit sin und cos, dann gemeinsamen Hauptnenner, etwas umformen und Additionstheoreme anwenden ...
.. und es ging super auf ... (ja, auch mit dem "<" - Zeichen) Wink

Du hast natürlich recht damit, dass man ruhig bei der Ungleichung bleiben kann, aber ich würde doch, so wie oben schon vorgeschlagen, dazu durchaus von

$\begin{eqnarray*} y+\frac 1y < -2 \end{eqnarray*}$

ausgehen, wofür natürlich jedenfalls y<0 sein muss, das mit y multiplizieren, alles auf die linke Seite bringen und auf ein vollständiges Quadrat ergänzen usw., womit sich alles auf eine sehr einfache Bedingung für y (=tan x) und damit dann x reduziert...

23.01.2013, 19:59

nuc

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Zitat:

Original von Mathe-Maus
Gestattet eine kleinen Einwurf von mir ...

Hatte tan und cot brav aufgelöst mit sin und cos, dann gemeinsamen Hauptnenner, etwas umformen und Additionstheoreme anwenden ...
.. und es ging super auf ... (ja, auch mit dem "<" - Zeichen) Wink

Also ich bin nun soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} \tan x + \cot x < -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} < -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sin x)^2}{\cos x \cdot \sin x} + \frac{(\cos x)^2}{\sin x\cdot \cos x} < -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sin x)^2+(\cos x)^2}{\cos x \cdot \sin x} <-2 \end{eqnarray*}$

jetzt wende ich an: $\begin{eqnarray*} (\sin x)^2+(\cos x)^2=1 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos x \cdot \sin x} <-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin(x) } <-2 \end{eqnarray*}$

bin ich korrekt vorgegangen? Bringt es mich weiter? Wenn ja, wie gehts weiter?
Oder hätte ich gleich mit tan x = y arbeiten sollen?
Danke schonmal für eure Hilfe! smile

23.01.2013, 20:03

Mathe-Maus

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Den Nenner nach rechts. Dann nochmal ein Blick in die Additionstheoreme ...
LG Mathe-Maus

23.01.2013, 20:34

nuc

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Zitat:

Original von Mathe-Maus
Den Nenner nach rechts. Dann nochmal ein Blick in die Additionstheoreme ...
LG Mathe-Maus

$\begin{eqnarray*} \sin(x) \cdot \cos(x) < -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sin(2x) < -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) < -1 \end{eqnarray*}$

richtig? siicher kann man noch irgendwie das x herausextrahieren...

Das $\begin{eqnarray*} \sin(x) \cdot \cos(x)=\frac{1}{2}\sin(2x) \end{eqnarray*}$ ist habe ich ehrlich gesagt aus dem Internet, aber wie kommt man mit den Additionstheoremen nur darauf? Ich hatte bisher nie etwas von diesen Theoremen gehört.

23.01.2013, 20:58

Mathe-Maus

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Hallo nuc, Du brauchst nicht in jedem Post ein Zitat einfügen ...

Bissl umständlich, da

2 * sin(x) * cos(x) = sin(2x)

Zwischenergebnis stimmt aber.

sin(2x) < -1

Nun substituiere: u = 2x.

23.01.2013, 21:36

Mystic

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Moment, Moment... Bis zu

$\begin{eqnarray*} \frac1{\sin(2x)}<-1 \end{eqnarray*}$

war es ja richtig... Aber danach muss man ja wohl eine Fallunterscheidung machen:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} \sin(2x)>0 \end{eqnarray*}$

...

2. Fall: $\begin{eqnarray*} \sin(2x)<0 \end{eqnarray*}$

...

23.01.2013, 22:36

Mathe-Maus

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Hallo Mystic, wir stehen an dem Punkt:

sin(2x) < -1 bzw. sin(u) < -1

Wieso jetzt Fallunterscheidung: sin(u) >0 verwirrt

LG Mathe-Maus

23.01.2013, 22:45

Mystic

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Der Fehler ist schon vorher passiert... Offenbar seid ihr dem Fehlschluß

$\begin{eqnarray*} \frac 1{\sin(2x)}<-1 \Rightarrow \sin(2x)<-1 \end{eqnarray*}$

aufgesessen... geschockt

Angenommen es ist z.B. sin(2x)=-1/2, dann stimmt zwar die Prämisse wegen -2<-1, aber nicht die Konklusion -1/2<-1...

26.01.2013, 13:52

nuc

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@mystic:
Ich verstehe deinen Einwand nicht so ganz. Das wurde doch so abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(2x)}{2} < -\frac{1}{2}\Rightarrow \sin(2x) < -1 \end{eqnarray*}$

26.01.2013, 22:41

Mystic

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Du musst weiter zurückgehen, nämlich bis zu

Zitat:

Original von nuc
also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos x \cdot \sin x} <-2 \end{eqnarray*}$

Das war nämlich noch richtig... Daraus kann man dann dann

$\begin{eqnarray*} \frac 1{\sin(2x)}<-1 \end{eqnarray*}$

schließen, wa auch noch richtig ist... Aber dann muss man mit der Fallunterscheidung, die ich oben angegeben habe, weitermachen...

27.01.2013, 16:13

Cpt. Challenger

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@Mystic:

Wenn in einem Bruch der Zähler positiv ist und der Bruch negativ (-1), dann muss der Nenner negativ sein. Somit macht

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) > 0 \end{eqnarray*}$

keinen Sinn.

Problematisch ist in besagter Zeile nur, dass man nicht einfach den Kehrwert beider Seiten bilden darf. Man muss sich überlegen, in welchem Intervall sin(2x) liegt.

Nach Betrachtung des Einheitskreises komme ich auf

$\begin{eqnarray*} 0 < x < 135^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

27.01.2013, 16:47

Mystic

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Zitat:

Original von Cpt. Challenger
@Mystic:

Wenn in einem Bruch der Zähler positiv ist und der Bruch negativ (-1), dann muss der Nenner negativ sein. Somit macht

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) > 0 \end{eqnarray*}$

keinen Sinn.

Ja, möglicherweise habe ich mich oben unklar ausgedrückt... verwirrt

Ich wollte eigentlich sagen, dass es bis zu

$\begin{eqnarray*} \frac1{\sin(2x)}<-1 \end{eqnarray*}$

reine Äquivalenzumformungen waren... Will man in dieser Weise weitermachen, so kommt man ohne Fallunterscheidungen nicht mehr aus... Die Bedingung sin(2x)<0 allein ist z.B. sicher nur mehr notwendig, aber wie man für sin(2x)=-1 sieht, eben nicht mehr hinreichend...

27.01.2013, 23:51

nuc

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Ok danke, so weit kann ich wieder alles nachvollziehen

$\begin{eqnarray*} \frac1{\sin(x) \cos(x)}<-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac1{2\sin(x) \cos(x)}<-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac1{\sin(2x)}<-1 \end{eqnarray*}$

Und wie genau soll es jetzt weiter gehen? Substituieren? Fallunterscheidung? Oder geht es nur wie Cpt. Challenger sagt durch Betrachtung des Einheitskreises?

28.01.2013, 00:00

Mystic

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Zitat:

Original von nuc
Und wie genau soll es jetzt weiter gehen? Substituieren? Fallunterscheidung? Oder geht es nur wie Cpt. Challenger sagt durch Betrachtung des Einheitskreises?

Mein Vorschlag war Fallunterscheidung, zu Cpt. Challenger's Vorschlag kann ich nichts sagen, den verstehe ich nicht... Einerseits sagt er nämlich , sin(2x)>0 wäre unmöglich, was auch stimmt, andererseits schlägt er 0<x<135° vor, wo auch viele Werte mit sin(2x)>0 dabei sind... geschockt

28.01.2013, 13:03

Cpt. Challenger

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Vertan
Guten Tach,

Ich habe mich beim Ablesen der Winkel am Einheitskreis vertan.

$\begin{eqnarray*} 180^{\circ} < 2x < 270^{\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 90^{\circ} < x < 135^{\circ} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt substituiert:

$\begin{eqnarray*} y = \sin(2x) \end{eqnarray*}$

und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} = -1 \end{eqnarray*}$

Nach y umformen, resubstituieren. Dann die erlaubten Werte für sin(2x) am Einheitskreis betrachten.

28.01.2013, 13:43

Mystic

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RE: Vertan
Cpt. Challenger

Hm, du meinst also mit sagen wir z.B. x=165° würde es nicht funktionieren? verwirrt

29.01.2013, 14:47

Cpt. Challenger

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$\begin{eqnarray*} 180^{\circ} < 2x < 360^{\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 90^{\circ} < x < 180^{\circ} \end{eqnarray*}$

sin(2x) muss ja zwischen 0 und -1 liegen. Das ist der 3. und 4. Quadrant im Einheitskreis.

Ich habe jetzt den Einheitskreis auf einem Blatt Papier vorliegen Augenzwinkern

. An mir sieht man mal wieder, wie verheerend es sein kann, sich alles nur im Kopf vorzustellen.

06.02.2013, 00:57

nuc

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@challenger:
Wozu substituieren? Man kann doch normal mit sin2x weiterrchnen, oder etwa nicht?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin 2x}<-1 \end{eqnarray*}$

kann man umformen zu

$\begin{eqnarray*} \sin 2x > -1 \end{eqnarray*}$

Das sin2x nur zwischen 0 und -1 liegen kann, wird aber im Prinzip nur in der ersten Gleichung ersichtlich, oder irre ich mich?
Oder muss man eben im Zweiten Schritt die besagte Fallunterscheidung machen? Wie sähe diese aus?

best regards
nuc

06.02.2013, 09:39

Mystic

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Noch einmal, auch wenn mir niemand hier zuhört: Man braucht für die Weiterbehandlung von

$\begin{eqnarray*} \frac1{\sin(2x)}<-1 \quad (*) \end{eqnarray*}$

eine Fallunterscheidung:

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) >0 \end{eqnarray*}$

Da daraus $\begin{eqnarray*} \frac1{\sin(2x)}>0 \end{eqnarray*}$ folgt, führt dieser Fall auf keine Lösungen...

2. Fall:

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) <0 \end{eqnarray*}$

Unter dieser Voraussetzung kann man dann (*) bequem umformen zu

$\begin{eqnarray*} -1<\sin(2x) \end{eqnarray*}$

womit man dann zusammen mit der generellen Voraussetzung für den 2. Fall also schlußendlich die zu (*) äquivalente Bedingung

$\begin{eqnarray*} -1<\sin(2x)<0 \end{eqnarray*}$

erhält... Jetzt muss man sich nur noch überlegen, was das für den Winkel x selbst bedeutet...

06.02.2013, 20:06

nuc

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Achso klar ich bin bin Fallunterscheidung quasi nur im Kopf durchgegangen, aber natürlich sollte man das so aufschreiben.

Das $\begin{eqnarray*} -1<\sin(2x)<0 \end{eqnarray*}$ äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} \frac1{\sin(2x)}<-1 \quad \end{eqnarray*}$ ist mir ebenfalls klar.

Das Ablesen vom Einheitskreis habe ich ebenfalls verstanden:

Zitat:

Original von Cpt. Challenger
$\begin{eqnarray*} 180^{\circ} < 2x < 360^{\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 90^{\circ} < x < 180^{\circ} \end{eqnarray*}$

Nur müsste es nicht heißen

$\begin{eqnarray*} 180^{\circ} < \sin 2x < 360^{\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 90^{\circ} < \sin x< 180^{\circ} \end{eqnarray*}$
?
Schließlich ist x ja kein winkel sondern nur ein Parameter. Sin x ergibt dann den Winkel. Hab ich recht?

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