Einsteinsche Summationsvereinbarung

17.01.2013, 09:50

Suleila

Einsteinsche Summationsvereinbarung

Meine Frage:
Hallo,

ich bin in der Mechanik auf folgende Formel gestoßen
[latex] \sigma_{1} = \delta_{ij} \sigma_{ij} [\latex]
Ich glaube, dass man das mit der Einsteinschen Summationsvereinbarung berechnen muss, bin mir aber nicht ganz sicher wie ich die anwende.

Meine Ideen:
Ich nehm als Beispiel mal zwei 3x3 Matrizen.
[latex] \delta_{ij} [\latex] ist meines Wissens nach als [latex] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} [\latex] definiert und [latex] \sigma_{ij} [\latex] als [latex] \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{pmatrix} [\latex].

Dann wäre das:
[latex] \sigma_x \cdot \sigma_y \cdot \sigma_z [\latex] oder?

17.01.2013, 11:08

RavenOnJ

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RE: Einsteinsche Summationsvereinbarung
Schön, dass du dir soviel Mühe mit dem Latex gegeben hast. Dummerweise scheiterte es dann am backslash. Du musst den Latex-Code in folgende Tags einfassen

code:
1:	[latex] ... [/latex]

Hab das mal verbessert:

Zitat:

Original von Suleila
Meine Frage:
Hallo,

ich bin in der Mechanik auf folgende Formel gestoßen
$\begin{eqnarray*} \sigma_{1} = \delta_{ij} \sigma_{ij} \end{eqnarray*}$
Ich glaube, dass man das mit der Einsteinschen Summationsvereinbarung berechnen muss, bin mir aber nicht ganz sicher wie ich die anwende.

Meine Ideen:
Ich nehm als Beispiel mal zwei 3x3 Matrizen.
$\begin{eqnarray*} \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ ist meines Wissens nach als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ definiert und $\begin{eqnarray*} \sigma_{ij} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann wäre das:
$\begin{eqnarray*} \sigma_x \cdot \sigma_y \cdot \sigma_z \end{eqnarray*}$ oder?

17.01.2013, 11:26

Suleila

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Ah, super. Ich hatte in der Vorschau gesehen, dass das nicht klappt, hatte aber den Fehler nicht gefunden und das deshalb so stehen lassen.

Da die Formel aus einem chinesischen Text kam (und ich kein chinesisch kann), habe ich das hier gefragt. Inzwischen habe ich mit einem Chinesen gesprochen, und er hat mir gesagt das wäre die erste Invariante des Spannungstensors, also tatsächlich
$\begin{eqnarray*} \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z \end{eqnarray*}$ (natürlich mit + statt *, heißt ja auch Summationsvereinbarung.

Danke für die Latex Hilfe

01.02.2013, 11:57

Suleila

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RE: Einsteinsche Summationsvereinbarung
Nochmal eine Frage dazu. Mit dem Einheitstensor kann man ja nicht viel falsch machen, aber was mache ich bei

$\begin{eqnarray*} a_{ij}*a_{ij} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wird das dann zu
$\begin{eqnarray*} a_{11}(a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{31} + a_{32} + a_{33}) + a_{12}((a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{31} + a_{32} + a_{33}) + a_{13}(a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{31} + a_{32} + a_{33}) + ... \end{eqnarray*}$
??

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