Vektoren im Koordinatensystem

17.01.2013, 12:59	Kartoffel666	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren im Koordinatensystem Hallo :-D Meine Aufgabe: Gegeben sind die Punkte A(1/2/3), B(12/1/3), C(14/8/3), D(7/6/3) a) Welcher Punkt ist am weitesten von D entfernt? Siehe Darstellung der schiefen Parallelenprojektion b) Geben Sie die ganzzahligen Koordinaten von einigen Punkten an, deren Entfernung von A $\begin{eqnarray} \sqrt(65) \end{eqnarray}$ ist. Wieviel solcher Punkte gibt es? Meine Ideen: - Bei a) würde ich einfach die Distanzen ausrechnen. Was bedeutet die Bemerkung zu der schiefen Parallelenprojektion? - Bei b) habe ich diese Gleichung aufgstellt: $\begin{eqnarray} (x_{1}-1)^{2} + (x_{2}-2) ^{2} + (x_{3} -3)^{2} = 65 \end{eqnarray}$ Weiter weiss ich nicht. Vielen Dank :-D
17.01.2013, 14:13	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
a) stimmt. Was die schiefe Parallelenprojektion da soll, weiß ich auch nicht. Also einfach Abstand berechnen. b) Wegen $\begin{eqnarray} (x_{1}-1)^{2} + (x_{2}-2) ^{2} + (x_{3} -3)^{2} = 65 \end{eqnarray}$ musst du 65 als Summe von 3 Quadratzahlen darstellen. Jede dieser Quadratzahlen muss kleiner oder gleich 65 sein. D.h. möglich sind: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64. Jetzt suchst du dir 3 Zahlen raus, deren Summe 65 sind. Z.B. $\begin{eqnarray} 64+1+0=(\pm 8)^2+(\pm 1)^2 +0^2=65 \end{eqnarray}$ . Also gilt: $\begin{eqnarray} (x_{1}-1)=\pm 8,\ (x_{2}-2)= \pm 1,\ (x_{3} -3)=0. \end{eqnarray}$ Damit kannst du jetzt $\begin{eqnarray} x_1,\ x_2,\ x_3 \end{eqnarray}$ bestimmen (es gibt mehrere Lösungen). Du suchst jetzt alle möglichen Kombinationen raus, mit denen du auf die Summe 65 kommst (Achtung: Du musst jetzt auch noch 1+64+0=65 und 0+1+64=65 usw. beachten. Da kommen unterschiedliche Koordinaten raus). So kannst du dann alle möglichen Koordinaten für A berechnen.
17.01.2013, 21:45	Kartoffel666	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, danke, du hast mir sehr geholfen!
17.01.2013, 21:56	Kartoffel666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gesehen, dass die Aufgabe noch eine Teilaufgabe hat: "Geben Sie die ganzzahligen Koordinaten von einigen Punkten an, die von A und D den gleichen Abstand haben" Ich würde dafür die Gleichung aufstellen: (x_{1}-1)^{2} + (x_{2}-2)^{2} + (x_{3}-3)^{2} = (x_{1}-7)^{2} + (x_{2}-6)^{2} + (x_{3}-3)^{2} Das kann ich vereinfachen: $\begin{eqnarray} (x_{1}-1)^{2} + (x_{2}-2)^{2} = (x_{1}-7)^{2} + (x_{2}-6)^{2} \end{eqnarray}$ Danach könnte ich einfach ein paar Punkte ausprobieren, gibt es aber keine genaue Vorgehensweise dafür?
17.01.2013, 23:33	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreib die Gleichung nochmal mit LATEX auf: $\begin{eqnarray} (x_{1}-1)^{2} + (x_{2}-2)^{2} + (x_{3}-3)^{2} = (x_{1}-7)^{2} + (x_{2}-6)^{2} + (x_{3}-3)^{2}\\ \Leftrightarrow (x_{1}-1)^{2} + (x_{2}-2)^{2} = (x_{1}-7)^{2} + (x_{2}-6)^{2} \end{eqnarray}$ Dann kannst du die Klammern auflösen, indem du die Binomischen Formeln anwendest. Dabei wird die Gleichung sehr vereinfacht. Dann müsstest du probieren, aber das geht dann ziemlich schnell. Für die Koordinate $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ kannst du dann nehmen, was du willst, da das ja in der Gleichung weggefallen ist. Ich denke mal, ohne Probieren geht es nicht. Ein "normales" Ausrechnen würde nur gehen, wenn die Koordinaten rational sein dürfen. Aber mit natürlichen Koordinaten geht es, glaub ich, nicht. Es gibt übrigens noch eine andere Möglichkeit, wenn man alle Punkte bestimmen will, die den gleichen Abstand zu A und D haben. Das ergibt dann eine Ebene. Man müsste also die Gleichung einer Ebene bestimmen, die orthogonal auf der Strecke AD steht und durch den Mittelpunkt dieser Strecke geht. Mit der Koordinatengleichung dieser Ebene könnte man dann auch Punkte bestimmen, die den gleichen Abstand von A und D haben. Aber das ist hier nicht nötig. Da reicht das Vorgehen von oben. Ähnlich könnte man auch die Aufgabe von oben lösen: Punkte bestimmen, die von A den Abstand $\begin{eqnarray} \sqrt{65} \end{eqnarray}$ haben. Man könnte eine Kugelgleichung aufstellen mit Mittelpunkt A und Radius $\begin{eqnarray} \sqrt{65}. \end{eqnarray}$ Aber das brauchst du hier auch nicht machen, du hast ja schon eine andere Möglichkeit gefunden.
18.01.2013, 00:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch ohne probieren: Wenn du die Gleichung vereinfachst, wie 10001000Nick1 vorgeschlagen hat, kommst du auf $\begin{eqnarray} 3x_1=2(10-x_2) \end{eqnarray}$ Die linke Seite ist durch 3 teilbar, also muss es auch die rechte sein. Die 2 auf der rechten Seite ist es jedenfalls nicht, also muss 10-x_2 durch 3 teilbar sein. Also gibt es eine ganze Zahl t mit $\begin{eqnarray} 10-x_2=3t \end{eqnarray}$ . Eingesetzt liefert das $\begin{eqnarray} x_1=\frac{2(10-x_2)}{3}=2t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2=10-3t \end{eqnarray}$ mit ganzzahligem t. Kannst du jetzt angeben, welche Punkte die gewünschte Eigenschaft haben?
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18.01.2013, 00:19	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Da hab ich gar nicht dran gedacht, dass es so geht.

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