Eindeutigkeit linearer Funktionale

17.01.2013, 13:22	Niko86	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit linearer Funktionale Meine Frage: Hey alle miteinander, ich möchte folgendes Beweisen: Gegeben sei eine komplexe Algebra A mit einselemt e und zwei lineares Funktional auf A, also $\begin{eqnarray} \phi,\psi: A \rightarrow C \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} Kern\phi=Kern\psi \end{eqnarray}$ Zu Zeigen: Beide Funktionale sind identisch Meine Ideen: Also: Annahme es. ex. x_o in A mit $\begin{eqnarray} \phi(x_0)\neq \psi(x_0) \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} \phi(x_0)=0 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \psi(x_0)\neq 0 \end{eqnarray}$ , also ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Kerne gleich sind. Sei also $\begin{eqnarray} \lambda:=\phi(x_0)\neq 0 \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} \phi(e)=\psi(e)=1 \end{eqnarray}$ folgt dann: $\begin{eqnarray} \phi(x_0-\lambda e)=0, \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} x_0-\lambda e\in Kern(\phi) \end{eqnarray}$ . Aber $\begin{eqnarray} x_0-\lambda e \notin Kern(\psi), \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \psi(x_o)\neq \phi(x_0)=\lambda \end{eqnarray}$ . Also wieder ein Widersprich zur Vorraussetzung. Bin ich damit fertig oder muss sonst noch was gezeigt werden? Viele Grüße Niko
17.01.2013, 20:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eindeutigkeit linearer Funktionale Fehlt nicht irgendeine Voraussetzung wie die Multiplikativität der Funktionale? (Edit: Oder ist das bei euch in "linear" enthalten?) Wenn jedenfalls $\begin{eqnarray} \phi(e)=\psi(e)=1 \end{eqnarray}$ angenommen werden kann, stimmt der Beweis so. Den Fall $\begin{eqnarray} \phi(x_0)=0 \end{eqnarray}$ brauchst du aber gar nicht gesondert zu betrachten...
21.01.2013, 15:07	niko86	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ANtwort. War leider unterwegs. Ja ist mit enthalten! Grüße

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »