Wahrscheinlichkeit/Normalvertreilung - nach was wird gesucht? (Überbuchung Hotel)

17.01.2013, 15:28

kurotori

Wahrscheinlichkeit/Normalvertreilung - nach was wird gesucht? (Überbuchung Hotel)

Meine Frage:
Meine Aufgabe lautet wie folgt:
Ein Reiseunternehmer hat 400 Zimmer zu vergeben. 10% der Buchungen werden in der Regel storniert. Wie viele Buchungen dürfen mit einem 2,5%igen Risiko des Überbuchens angenommen werden?

Meine Ideen:
mein Anstaz war folgender:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 400 Zimmer benötigt werden, also eine Überbuchung stattgefunden hat, soll bei 2,5% liegen.

P(X>400)=0,025

Die Frage ist, wieviele Zimmer man vergeben darf, damit dieses Ergebnis erreicht wird.
Nun bin ich mir aber nicht sicher wonach genau ich suche. Suche ich nach n oder ist n die Anzahl der Zimmer die es überhaupt gibt (also 400)?
zum Lösen der Aufgabe verwendet man doch die Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur, da wir ein sehr großes n (also die 400) haben und daher die Standardabweichung 6 ergibt.
Suche ich nach n müsste ich folgendes tun:

(Bemerkung: ich verwende in meiner Rechung statt Phi ein I, statt My ein m und statt Sigma ein s um Probleme mit den Unicodes zu vermeiden)

$\begin{eqnarray*} 1-I(z)=0.025 z=1,95996 p=0,9 -also- (1-p(storniert)=1-0,1) z=\frac{x-m}{s} s=\sqrt{np\times (1-p)} m=n\times p z=\frac{x-n\times p}{\sqrt{np\times (1-p)}} 1,95996=\frac{400-n\times 0,9}{\sqrt{0,9n\times (1-0,9)}} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich nur noch umformen und ich habe mein n.
Jedoch kommt füt mein ein 1,79549981 heraus, was ja wohl nicht stimmen kann. Deswegen denke ich ja auch, dass mein Ansatz ganz falsch ist und ich eventuell gar nicht das n ausrechnen muss?
Oder habe ich mich beim Umformen nur verrechnet?

Danke schonmal für eure Hilfe!

17.01.2013, 15:36

Math1986

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RE: Wahrscheinlichkeit/Normalvertreilung - nach was wird gesucht? (Überbuchung Hotel)
Also,
gesucht ist die Anzahl der Buchungen, die maximal vergeben werden können (ich nenne es m). n bezeichne dann die Anzahl der tatsächlich vorhandenen Zimmer.

Insbesondere ist die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die dir die Anzahl der tatsächlich wahrgenommenen Buchungen angibt, binomialverteilt mit Parameter m und einer Wahrscheinlichkeit von 90% (Wahrscheinlichkeit, dass nicht storniert wird). D.h. $\begin{eqnarray*} E(X)=0,9\cdot m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(X)=0,09\cdot m \end{eqnarray*}$ .

Dieses m musst du nun so bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} P(X>400)\leq 0,025 \end{eqnarray*}$

17.01.2013, 17:46

kurotori

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RE: Wahrscheinlichkeit/Normalvertreilung - nach was wird gesucht? (Überbuchung Hotel)
das hilft mir gerade leider nicht weiter, es ist binomialverteilt, ja, aber rechnen muss man es doch trotzdem mit der Normalverteilung, was soll ich denn auch sonst mit E(x) und V(X) machen. Im Grunde genommen ist das doch genau das, was ich gemacht habe, nur eben blieb ich bei der Bezeichung n für m... oder verstehe ich da jetzt so falsch?

17.01.2013, 18:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von kurotori
$\begin{eqnarray*} 1,95996=\frac{400-n\times 0,9}{\sqrt{0,9n\times (1-0,9)}} \end{eqnarray*}$

Davon abgesehen, dass ich wegen Stetigkeitskorrektur (die du zwar erwähnt, aber nicht angewandt hast) eher

$\begin{eqnarray*} 1.95996 = \frac{400.5-n\cdot 0.9}{\sqrt{0.9\cdot (1-0.9)n}} = \frac{400.5-n\cdot 0.9}{0.3\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

genommen hätte, ist das soweit Ok (so sehr viel macht die Stetigkeitskorrektur ja auch nicht aus), und es kommt bei Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung für $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ auch ein durchaus plausibler Wert heraus. Sieht also so aus, dass du dich bei der Gleichungslösung vertan hast.

17.01.2013, 19:02

kurotori

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Zitat:

Original von HAL 9000
[...]ist das soweit Ok (so sehr viel macht die Stetigkeitskorrektur ja auch nicht aus), und es kommt bei Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung für $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ auch ein durchaus plausibler Wert heraus. Sieht also so aus, dass du dich bei der Gleichungslösung vertan hast.

danke

ja das die Korrektur vergesse ich gerne, ist mir leider nicht aufgefallen.
Dann hab ich mich wohl blöd verrechnet, danke für deine antwort.

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