Fourier-Transformation - Seite 2

21.01.2013, 14:14

RavenOnJ

Zitat:

Original von Womanpower

@RavenOnJ ist die Darstellung des Sinus mittels Eulerformel nicht fehlerhaft, bzw. fehlt da nicht noch das i bei $\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Also
$\begin{eqnarray*} \sin x = {1 \over 2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right) \end{eqnarray*}$ ???

Woraus folgen würde
$\begin{eqnarray*} \sin(\omega_0 t) = \frac{1}{2i}(e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) \end{eqnarray*}$

ist ja super, dass du das bemerkt hast.

21.01.2013, 14:32

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} \frac 1 {2{\color{red}i}} \int\limits^\infty_0 ((e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) )e^{-\Omega t}e^{i\omega t} dt=\frac 1 {2{\color{red}i}} \int\limits^\infty_0 e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}dt \end{eqnarray*}$

ja (mit Korrektur)

Zitat:

Durch Integration $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2{\color{red}i}} [\frac{e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}}{-\Omega i\omega i\omega_0}-\frac{e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}}{-\Omega i\omega (-i\omega_0)}]_0^{\infty } \end{eqnarray*}$

NEIN! Ich weiß nicht, warum du immer wieder die Omegas im Nenner multiplizierst. Im Nenner steht einfach der konstante Faktor aus dem Exponenten und das ist, wie du sehen kannst, eine Summe.

Zitat:

Auswerten:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2{\color{red}i}} [\frac{e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))\infty }}{-\Omega i\omega i\omega_0}-\frac{e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))\infty }}{-\Omega i\omega (-i\omega_0)}-(\frac{1}{-\Omega i\omega i\omega_0}-\frac{1}{-\Omega i\omega (-i\omega_0)}] \end{eqnarray*}$

siehe die vorige Anmerkung.

Zitat:

Zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2{\color{red}i}} [-\frac{e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))\infty}+e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))\infty}}{\Omega i\omega i\omega_0}] \end{eqnarray*}$

siehe vorige Anmerkung. Hier ist dann das Resultat: Das einzige, was nicht wegfallen sollte, lässt du in deiner Rechnung verschwinden.

Zitat:

Und somit wär's auch der andere Teil fällt weg bzw. kürzt sich heraus.

Das ist damit natürlich auch falsch. Das hätte dir auch deine Intuition sagen sollen, denn das hieße ja, dass alle Fourier-Koeffizienten identisch 0 wären.

21.01.2013, 16:22

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Ouh ja was für ein dicker Fehler Hammer

. Danke. Also nochmal:
$\begin{eqnarray*} \frac {1} {2i} \int\limits^\infty_0 ((e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) )e^{-\Omega t}e^{i\omega t} dt=\frac {1} {2i} \int\limits^\infty_0 e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}dt \end{eqnarray*}$

Durch Integration $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} [(\frac{1}{-\Omega}+\frac{1}{i\omega}+\frac{1}{i\omega_0}) e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}+(\frac{1}{-\Omega}+\frac{1}{i\omega}+\frac{1}{-i\omega_0}) (-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t})]_0^{\infty } \end{eqnarray*}$

Auswerten:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} [(\frac{1}{-\Omega}+\frac{1}{i\omega}+\frac{1}{i\omega_0}) e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))\infty}+(\frac{1}{-\Omega}+\frac{1}{i\omega}+\frac{1}{-i\omega_0}) (-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))\infty})-((\frac{1}{-\Omega}+\frac{1}{i\omega}+\frac{1}{i\omega_0})+(\frac{1}{-\Omega}+\frac{1}{i\omega}+\frac{1}{-i\omega_0}))] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} [(\frac{1}{-\Omega}+\frac{1}{i\omega}+\frac{1}{i\omega_0}) e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))\infty}+(\frac{1}{-\Omega}+\frac{1}{i\omega}+\frac{1}{-i\omega_0}) (-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))\infty})+\frac{2}{\Omega}-\frac{2}{i\omega}] \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht weiter verwirrt

21.01.2013, 16:35

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

das nimmt hier ja nie ein Ende... warte jetzt da drauf, bis es in der Übung besprochen wird -.-

21.01.2013, 16:54

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Gib dir gleich den nächsten Hammer

hinterher: Woher kommt denn diese Summe: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-\Omega}+\frac{1}{i\omega}+\frac{1}{i\omega_0} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von RavenOnJ
NEIN! Ich weiß nicht, warum du immer wieder die Omegas im Nenner multiplizierst. Im Nenner steht einfach der konstante Faktor aus dem Exponenten und das ist, wie du sehen kannst, eine Summe.

Du solltest das Produkt im Nenner durch den konstanten Faktor im Exponten (eben die Summe) ersetzen und nicht die Summanden einzeln in der Gegend verstreuen.

21.01.2013, 16:54

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Du gibst dir ja echt Mühe mit deiner Schreiberei, nur leider ist das immer noch falsch. Das Integral lautet allgemein:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{t_1}^{t_2} e^{at}dt = \frac 1 a [e^{at}]\Big\rvert_{t_1}^{t_2} = \frac 1 a (e^{at_2} - e^{a t_1}) \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du nur noch einsetzen. Was ist in deinem Fall das $\begin{align*} a \end{align*}$ ? Diese Frage solltest du dir als erstes beantworten, da du daran schon seit x Posts scheiterst.

21.01.2013, 17:39

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ
Du gibst dir ja echt Mühe mit deiner Schreiberei, nur leider ist das immer noch falsch.

Genau bald wechsele ich zu den Informatikern.

Das ist doch zum Verzweifeln unglücklich

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} e^{x^3+3x^2+3x}=(3x^2+6x+3)e^{x^3+3x^2+3x} \end{eqnarray*}$

Dann ist die Stammfunktion doch das $\begin{eqnarray*} e^{...} \end{eqnarray*}$ und der Kehrwert der inneren Ableitung also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3x^2+6x+3} e^{x^3+3x^2+3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ---------------------------------- \end{eqnarray*}$

So zum n!-ten mal:

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {2i} \int\limits^\infty_0 ((e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) )e^{-\Omega t}e^{i\omega t} dt=\frac {1} {2i} \int\limits^\infty_0 e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}dt \end{eqnarray*}$

Durch Integration $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} [\frac {1}{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))}e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}+\frac {1}{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))}(-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}) \end{eqnarray*}$

Auswerten:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} [\frac {1}{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))}e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))\infty}+\frac {1}{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))}(-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))\infty})-\frac {1}{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))}+\frac {1}{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))}] \end{eqnarray*}$

Wenn das jetzt wieder falsch ist...

21.01.2013, 17:46

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {2i} \int\limits^\infty_0 ((e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) )e^{-\Omega t}e^{i\omega t} dt=\frac {1} {2i} \int\limits^\infty_0 e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}dt \end{eqnarray*}$

also falls dieses Integral stimmt.
dann folgt bei mir (schreib jetzt nicht jeden Schritt, bin nicht so flott in Latex):

$\begin{eqnarray*} =\left[\frac{i e^{i t(\omega-\omega_0)} }{2(\omega-\omega_0)(\omega-\omega_0+i \Omega)} - \frac{i e^{i t(\omega-\omega_0)} }{2(\omega_0+\omega)(\omega+\omega_0+i \Omega)} \right]_{0}^{\infty } \end{eqnarray*}$

und wenn es falsch ist dann tut es mir leid und ich halte mich endgültig raus

21.01.2013, 18:04

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} e^{x^3+3x^2+3x}=(3x^2+6x+3)e^{x^3+3x^2+3x} \end{eqnarray*}$

das ist zwar richtig, aber ...

Zitat:

Dann ist die Stammfunktion doch das $\begin{eqnarray*} e^{...} \end{eqnarray*}$ und der Kehrwert der inneren Ableitung also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3x^2+6x+3} e^{x^3+3x^2+3x} \end{eqnarray*}$

... dies leider falsch. Es mag dich enttäuschen, aber so einfach ist es nicht. Leite mal deine "Stammfunktion" mittels der Produktregel ab, dann müsstest du das ekennen. Es ist nur einfach, wenn der Exponent linear ist, also von der Form $\begin{align*} ax \end{align*}$ . Aber zum Glück liegt hier der lineare Fall vor.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ---------------------------------- \end{eqnarray*}$

So zum n!-ten mal:

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {2i} \int\limits^\infty_0 (e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t})e^{-\Omega t}e^{i\omega t} dt=\frac {1} {2i} \int\limits^\infty_0{\color{red}\Big\{ } e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}{\color{red}\Big\} }dt \end{eqnarray*}$

Durch Integration $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} [\frac {1}{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))}e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}{\color{red}-}\frac {1}{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))} \end{eqnarray*}$

Da fehlt jetzt was hinten dran. Aber das war wohl nur ein Flüchtigkeitsfehler, denn im Folgenden ist es wieder drin. Und das obskure Plus, das eigentlich ein Minus ist, taucht wieder auf.

Zitat:

Auswerten:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{\frac {1}{-\Omega+i(\omega+\omega_0)}e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))\infty}-\frac {1}{-\Omega+i(\omega-\omega_0)}e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))\infty}-\frac {1}{-\Omega+i(\omega+\omega_0)}+\frac {1}{-\Omega+i(\omega-\omega_0)}\Big\} \end{eqnarray*}$

OK, daher kam das Plus. Hab es mal zur Vereinfachung vor den Bruch geschoben und ein paar überflüssige Klammern beseitigt.

Also, jetzt ist es soweit richtig (ich stör mich jetzt mal nicht am $\begin{align*} \infty \end{align*}$ im Exponenten). Es fehlt nur noch die Zusammenfassung: Was macht man mit den Exponentialtermen? Und wie fasst man die restlichen Brüche zusammen?

21.01.2013, 18:05

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@un-aachen
das ist falsch

21.01.2013, 18:12

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ
Also, jetzt ist es soweit richtig (ich stör mich jetzt mal nicht am $\begin{align*} \infty \end{align*}$ im Exponenten). Es fehlt nur noch die Zusammenfassung: Was macht man mit den Exponentialtermen? Und wie fasst man die restlichen Brüche zusammen?

Dann tippe ich auf Erweitern, weil die Exponentialterme sehe ich nicht auf anhieb, wie man diese vereinfachen könnte.

21.01.2013, 18:17

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womanpower

Dann tippe ich auf Erweitern, weil die Exponentialterme sehe ich nicht auf anhieb, wie man diese vereinfachen könnte.

Die Brüche erweitern, genau. Die Sache mit den Exponentialtermen hatte ich schon mit un-aachen vor einigen Posts diskutiert. Sieh mal scharf hin. Was ist das saloppe $\begin{align*} e^{-a\infty} ,a >0 \end{align*}$ ?

21.01.2013, 18:43

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} e^{...} \end{eqnarray*}$ E hoch was Großes geht gegen Null somit fallen die zwei Terme weg. Was übrig bleibt ist:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i(\omega+\omega_0)}+\frac {1}{-\Omega+i(\omega-\omega_0)}\Big\} \end{eqnarray*}$

Erweitern stellt mich eigentlich nicht vor größere Schwierigkeiten, aber hier bereitet es mir irgendwie Kopfschmerzen verwirrt

Ausmultipliziert ist es ja:
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i\omega+i\omega_0)}+\frac {1}{-\Omega+i\omega-i\omega_0)}\Big\} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt mit $\begin{eqnarray*} i\omega_0 \end{eqnarray*}$ im rechten Sumanden erweitere dann verändern sich die anderen die anderen Sachen. Das ist eh falsch man muss.. hm verwirrt

In beiden Summanden muss der gleiche Nenner stehen, aber wie erweitere ich das?

21.01.2013, 18:50

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} e^{...} \end{eqnarray*}$ E hoch was Großes geht gegen Null somit fallen die zwei Terme weg. Was übrig bleibt ist:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i(\omega+\omega_0)}+\frac {1}{-\Omega+i(\omega-\omega_0)}\Big\} \end{eqnarray*}$

korrekt

Zitat:

Erweitern stellt mich eigentlich nicht vor größere Schwierigkeiten, ...

ja?? Schaun mer mal .... Wenn ich mir deinen Vorschlag unten angucke, kräuseln sich mir schon wieder die Haare.

Zitat:

In beiden Summanden muss der gleiche Nenner stehen, aber wie erweitere ich das?

Denk mal an eine der binomischen Formeln, die mit $\begin{align*} a^2 - b^2 \end{align*}$ . Vielleicht fällt dir dann auf, was hier dein $\begin{align*} a \end{align*}$ und was dein $\begin{align*} b \end{align*}$ sein könnte, und wie man das nutzbringend einsetzt. Denn es fällt dir bestimmt auf, dass es nur einen winzigen Unterschied zwischen den beiden Nennern gibt.

21.01.2013, 19:21

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe, dass es bis auf ein Minus das gleiche ist. Wie ich aber die dritte Binomische Formel einbeziehe, kommt mir nicht in die Birne.

21.01.2013, 20:34

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt einen ganz alten Trick: Wenn man zwei Brüche summiert oder subtrahiert der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-b}\pm \frac{1}{a+b} \end{eqnarray*}$

dann folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-b}+ \frac{1}{a+b} = \frac{1}{a-b}\cdot\frac{a+b}{a+b}+ \frac{1}{a+b}\cdot\frac{a-b}{a-b} = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a^2-b^2} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-b}- \frac{1}{a+b} = \frac{1}{a-b}\cdot\frac{a+b}{a+b}- \frac{1}{a+b}\cdot\frac{a-b}{a-b} = \frac{2b}{(a+b)(a-b)} = \frac{2b}{a^2-b^2} \end{eqnarray*}$

Im letzten Schritt kommt die Binomische Formel ins Spiel.

22.01.2013, 00:24

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i(\omega+\omega_0)}+\frac {1}{-\Omega+i(\omega-\omega_0)}\Big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i\omega+i\omega_0}+\frac {1}{-\Omega+i\omega-i\omega_0}\Big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i\omega+i\omega_0}\frac {-\Omega+i\omega-i\omega_0}{-\Omega+i\omega-i\omega_0}+\frac {1}{-\Omega+i\omega-i\omega_0}\frac {-\Omega+i\omega+i\omega_0}{-\Omega+i\omega+i\omega_0}\Big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-2\Omega+2i\omega}{(-\Omega+i\omega+i\omega_0)(-\Omega+i\omega-i\omega_0)} \end{eqnarray*}$

Und wie kann ich das nach 3. Binomischer Formel machen das ist bisschen gewöhnungsbedürftig. $\begin{eqnarray*} (-\Omega+i(\omega+\omega_0))(-\Omega+i(\omega-\omega_0)) \end{eqnarray*}$

22.01.2013, 01:24

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i(\omega+\omega_0)}+\frac {1}{-\Omega+i(\omega-\omega_0)}\Big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i\omega+i\omega_0}+\frac {1}{-\Omega+i\omega-i\omega_0}\Big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i\omega+i\omega_0}\frac {-\Omega+i\omega-i\omega_0}{-\Omega+i\omega-i\omega_0}+\frac {1}{-\Omega+i\omega-i\omega_0}\frac {-\Omega+i\omega+i\omega_0}{-\Omega+i\omega+i\omega_0}\Big\} \end{eqnarray*}$

bis hierhin OK, aber hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ={\color{red}\frac{1}{2i}}\frac{{-\!\!\!/2\!\!\!/\Omega\!\!\!/}+2i\omega_{\color{red}0}}{(-\Omega+i\omega+i\omega_0)(-\Omega+i\omega-i\omega_0)} {\color{red} = ?} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, du hast das Minus vor dem 1. Bruch übersehen.

Zitat:

Und wie kann ich das nach 3. Binomischer Formel machen das ist bisschen gewöhnungsbedürftig. $\begin{eqnarray*} (-\Omega+i(\omega+\omega_0))(-\Omega+i(\omega-\omega_0)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-\Omega+i(\omega+\omega_0))(-\Omega+i(\omega-\omega_0)) = (-\Omega + i\omega)^2 + \omega_0^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du das eingebaut hast, ist der eine Teil des gesamten Integrals fertig. Es fehlt dann noch der Teil für negative t. Dies geht aber ganz analog. Man muss muss nur auf die feinen Unterschiede achten, damit nicht plötzlich aus einem Minus ein Plus wird o.ä..

22.01.2013, 08:37

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ
[quote]Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i(\omega+\omega_0)}+\frac {1}{-\Omega+i(\omega-\omega_0)}\Big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i\omega+i\omega_0}+\frac {1}{-\Omega+i\omega-i\omega_0}\Big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2i} \Big\{-\frac {1}{-\Omega+i\omega+i\omega_0}\frac {-\Omega+i\omega-i\omega_0}{-\Omega+i\omega-i\omega_0}+\frac {1}{-\Omega+i\omega-i\omega_0}\frac {-\Omega+i\omega+i\omega_0}{-\Omega+i\omega+i\omega_0}\Big\} \end{eqnarray*}$

Jup, habe es vergessen - meine Schludrigkeit. Wenn ich das Minus hineinziehe, ändert sich doch sowohl im Zähler als auch im Nenner das Vorzeichen ?

Hiermit noch einmal recht herzlichen Dank smile

22.01.2013, 08:56

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

bitte sehr, aber vergess die andere Hälfte der Rechnung nicht. Du bist ja noch lange nicht fertig.

22.01.2013, 10:29

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Minus? Das war richtig was ich gesagt habe, dass es auf alle Summanden sowohl im Zähler als auch im Nenner bezogen ist? Bei dem anderen Integral wenn man Minus Unendlich einsetzt, dann läuft es auch gegen Null?

22.01.2013, 11:21

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, was du genau meinst. Falls du das aber meinen solltest

Zitat:

Original von Womanpower
Wenn ich das Minus hineinziehe, ändert sich doch sowohl im Zähler als auch im Nenner das Vorzeichen ?

dann habe ich das wohl überlesen. Das ist ja totaler Blödsinn böse

. Wenn du ein Minus in einen Bruch "hineinziehst", dann kann sich das Vorzeichen nur entweder beim Zähler oder beim Nenner ändern. Niemals bei beiden gleichzeitig!!! Das ist Mathematik der 4. Klasse!

22.01.2013, 11:22

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womanpower
Bei dem anderen Integral wenn man Minus Unendlich einsetzt, dann läuft es auch gegen Null?

Würdest du das mal bitte formelmäßig ausführen? Damit hier keine Missverständnisse entstehen.

22.01.2013, 11:34

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das habe ich mittlerweile auch herausgefunden. Danke. Man scheitert meistens an der Mathematik der 4-10 Klasse. Das Problem ist noch die Binomische Formel. Was ist im Zähler das a und was das b? Das (a+b)(a-b)=a^2-b^2 ist klar nur wie geht das im Nenner?

22.01.2013, 11:43

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womanpower
Was ist im Zähler das a und was das b?

Das resultiert aus dem a und b in den Nennern der beiden Brüche. Ich hoffe, es ist dir da wenigstens klar, was du für a und was für b einsetzen musst.

22.01.2013, 16:51

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ
$\begin{eqnarray*} \cdots=\frac{2b}{(a+b)(a-b)} = \frac{2b}{a^2-b^2} \end{eqnarray*}$
Im letzten Schritt kommt die Binomische Formel ins Spiel.

Genau im letzten Schritt kommt die 3. Binomische Formel ins Spiel

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von Womanpower
Was ist im Zähler das a und was das b?

Das resultiert aus dem a und b in den Nennern der beiden Brüche. Ich hoffe, es ist dir da wenigstens klar, was du für a und was für b einsetzen musst.

Ist mir ja nicht einleuchtend, sonst hätte ich nicht geschrieben

Zitat:

Original von Womanpower
Das Problem ist noch die Binomische Formel. Was ist im Zähler das a und was das b? Das (a+b)(a-b)=a^2-b^2 ist klar nur wie geht das im Nenner?

Bezogen auf unseres Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (-\Omega+i(\omega+\omega_0))(-\Omega+i(\omega-\omega_0)) = (-\Omega + i\omega)^2 + \omega_0^2 \end{eqnarray*}$
Was ist hier das a und das b ?

Das widerum ausmultipliziert ergibt
$\begin{eqnarray*} (-\Omega + i\omega)^2 + \omega_0^2=\Omega^{2}- 2\Omega i \omega+(i\omega)^{2}+ \omega_0^2 \end{eqnarray*}$

So soweit so gut.

Man kann es aber auch schon ganz am Anfang tun.
Ich habe es dann mal ausmultipliziert, das ist ja legitim und komme auf:
$\begin{eqnarray*} \Omega^{2} -\Omega i \omega+ i \Omega i \omega_0 -\Omega i \omega+(i\omega)^{2} -i^{2} \omega \omega_0 -\Omega i \omega_0 +i^{2} \omega \omega_0 -i^{2} \omega \omega_0= \Omega^{2} -2 \Omega i \omega + (i \omega)^{2} -i^{2} \omega \omega_0 \end{eqnarray*}$

Was ja wohl nicht das Gleiche ist

$\begin{eqnarray*} = \Omega^{2} -2 \Omega i \omega + (i \omega)^{2} -i^{2} \omega \omega_0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} =\Omega^{2}- 2\Omega i \omega+(i\omega)^{2}+ \omega_0^2 \end{eqnarray*}$

Und wo liegt der Fehler?

22.01.2013, 17:33

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst erst mal kaum was ausmultiplizieren. Du hast einerseits

$\begin{eqnarray*} -\Omega+i(\omega+\omega_0) =: a+b \end{eqnarray*}$

andererseits

$\begin{eqnarray*} -\Omega+i(\omega-\omega_0) =: a-b \end{eqnarray*}$

Wenn du die beiden Gleichungen addierst, kommst du auf

$\begin{eqnarray*} -\Omega+i\omega = a \end{eqnarray*}$

wenn du zweite von der ersten subtrahierst, ergibt das

$\begin{eqnarray*} i\omega_0 = b \end{eqnarray*}$

Klar? Damit hast du also dein a und dein b. Es folgt also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} \Big\{\frac {1}{-\Omega+i(\omega-\omega_0)} -\frac {1}{-\Omega+i(\omega+\omega_0)}\Big\} = \frac{1}{2i} \frac{2i\omega_0}{(-\Omega+i\omega)^2+\omega_0^2} = \frac{\omega_0}{(-\Omega+i\omega)^2+\omega_0^2} \end{eqnarray*}$

Im Nenner steht + statt -, da ich den Faktor $\begin{align*} i^2 = -1 \end{align*}$ aus dem Quadrat $\begin{align*} (i\omega_0)^2 \end{align*}$ rausgezogen habe.

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Fourier-Transformation - Seite 2

Verwandte Themen