Fourier-Transformation

17.01.2013, 17:29

Powergirly

Fourier-Transformation

Meine Frage:
Hallo, ich muss die Fourier-Transformierte
$\begin{eqnarray*} \tilde f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty } \! f(t)e^{i \omegat}\, dt [/latex der Funktion <br /> [latex]f(t)=sin(\omegat_{0}t)e^{-\Omegaltl} \end{eqnarray*}$ Dabei sind $\begin{eqnarray*} \omega)_{0}/latex] und <br /> [latex]\Omega \end{eqnarray*}$ positive reelle Konstanten.

Tipp: Teilen Sie die Integration in die Bereiche [latex](-\infty ,0]/latex] und [latex][0,\infty)[/latex

Meine Ideen:
Bei den Fourier-Aufgaben habe ich meine Probleme... Habe noch keine Aufgabe vollständig gelöst. Daher wäre ich für jegliche Hilfe dankbar.

18.01.2013, 09:15

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Transformation
Ich hab versucht, Dein LaTeX zu reparieren, aber erfolglos. Ich kann (wie Du siehst) nichts entziffern. Stell die Frage bitte noch einmal.

Viele Grüße
Steffen

18.01.2013, 10:49

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Transformation
vermutlich soll es so sein:

Zitat:

Original von Powergirly
Meine Frage:
Hallo, ich muss die Fourier-Transformierte
$\begin{eqnarray*} \tilde f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty } \! f(t)e^{i \omega t}\, dt \end{eqnarray*}$ der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(t)=sin(\omega_{0}t)e^{-\Omega \lvert t \rvert} \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} \omega_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ positive reelle Konstanten.

Tipp: Teilen Sie die Integration in die Bereiche $\begin{eqnarray*} (-\infty ,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei den Fourier-Aufgaben habe ich meine Probleme... Habe noch keine Aufgabe vollständig gelöst. Daher wäre ich für jegliche Hilfe dankbar.

Ich bin dann wieder weg.

18.01.2013, 10:58

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Transformation
Vielen Dank, RavenOnJ.

Zitat:

Original von Powergirly
Hallo, ich muss die Fourier-Transformierte
$\begin{eqnarray*} \tilde f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty } \! f(t)e^{i \omega t}\, dt \end{eqnarray*}$ der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(t)=sin(\omega_{0}t)e^{-\Omega \lvert t \rvert} \end{eqnarray*}$

Das Fourierintegral sollte

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty } \! f(t) \cdot e^{-i \omega t}\, dt \end{eqnarray*}$

lauten, oder?

Setz doch erst einmal ein:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty } \! sin(\omega_{0}t) \cdot e^{-\Omega \lvert t \rvert} \cdot e^{-i \omega t}\, dt \end{eqnarray*}$

Und mach erstmal die positive Seite, wie empfohlen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! sin(\omega_{0}t) \cdot e^{-\Omega t} \cdot e^{-i \omega t}\, dt \end{eqnarray*}$

Hilft das schon mal?

Viele Grüße
Steffen

19.01.2013, 01:19

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Transformation

Zitat:

Original von RavenOnJ
vermutlich soll es so sein:

[quote]Original von Powergirly
Meine Frage:
Hallo, ich muss die Fourier-Transformierte
$\begin{eqnarray*} \tilde f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty } \! f(t)e^{i \omega t}\, dt \end{eqnarray*}$ der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(t)=sin(\omega_{0}t)e^{-\Omega \lvert t \rvert} \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} \omega_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ positive reelle Konstanten.

Tipp: Teilen Sie die Integration in die Bereiche $\begin{eqnarray*} (-\infty ,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung ist korrekt. Was muss man jetzt wo einsetzen und was machen ?

19.01.2013, 10:49

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Transformation
also von $\begin{eqnarray*} [0,\infty ) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{x(-(\Omega+i\omega_o)}(-\omega\cos(\omega t)-(\Omega+i\omega)\sin(\omega t))}{\Omega(\Omega+2i\omega)} \end{eqnarray*}$

19.01.2013, 11:04

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Transformation
Dann wäre das ja für das Integral von $\begin{eqnarray*} (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ fast das gleiche und zum Schluss käme für beide Inegrale:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{t(-(\Omega+i\omega_0))}-(\Omega+i\omega)}{\Omega(\Omega+2i\omega)} \end{eqnarray*}$

19.01.2013, 11:06

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@Un-aachen

das ist leider nicht richtig. Mit $\begin{eqnarray*} \sin(\omega_0 t) = \frac{1}{2}(e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) \end{eqnarray*}$ ist folgendes Integral für $\begin{align*} [0,\infty) \end{align*}$ zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \int\limits^\infty_0 ((e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) )e^{-\Omega t}e^{i\omega t} dt \end{eqnarray*}$

19.01.2013, 11:30

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm okay , mist, dann wäre es:

irgendwie wil das Programm nicht so wie ich^^ na dann halt so: sorry unglücklich

\frac{1}{2} e^{\-Omegat}\frac{1}{\Omega}+\frac{e^{2i\omegat}}{\-Omega+2i\omega}

19.01.2013, 11:36

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

so hier fast: keine Ahnung warum der mir das -Omega nicht macht -.-

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{-Omegat}(\frac{1}{\Omega}+\frac{e^{2i\omega t}}{(-Omega)+2i\omega}) \end{eqnarray*}$

19.01.2013, 11:45

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Es heißt übrigens \Omega , dann klappt das auch.

19.01.2013, 11:53

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Fourier-Transformierte
$\begin{eqnarray*} \tilde f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty } \! f(t)e^{i \omega t}\, dt \end{eqnarray*}$ der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(t)=sin(\omega_{0}t)e^{-\Omega \lvert t \rvert} \end{eqnarray*}$ ist gesucht.

Dabei sind $\begin{eqnarray*} \omega_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ positive reelle Konstanten.

Die Integration soll in die Bereiche $\begin{eqnarray*} (-\infty ,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ aufgeteilt werden.

Mit $\begin{eqnarray*} \sin(\omega_0 t) = \frac{1}{2}(e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) \end{eqnarray*}$ ist folgendes Integral für $\begin{align*} [0,\infty) \end{align*}$ zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \tilde f(\omega)= \frac 1 2 \int\limits^\infty_0 ((e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) )e^{-\Omega t}e^{i\omega t} dt \end{eqnarray*}$

Das muss man ja jetzt integrieren ? Würde sich partielle Integration empfehlen ? Aber wie würde man dann u und v wählen ?

19.01.2013, 12:01

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso denn partielle Integration?? Hier müssen nur zwei simple e-Funktionen integriert werden. Man kann die Produkte doch zusammenfassen.

19.01.2013, 12:10

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

so jetzt habe ich es smile

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{-\Omega*t}(\frac{1}{\Omega}+\frac{e^{2i\omega t}}{(-\Omega)+2i\omega}) \end{eqnarray*}$

für -unendlich ist die Integration ja vorerst gleich...

19.01.2013, 12:15

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

19.01.2013, 12:45

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \tilde f(\omega)= \frac 1 2 \int\limits^\infty_0 ((e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) )e^{-\Omega t}e^{i\omega t}dt=\frac 1 2 \int\limits^\infty_0 e^{-\Omega t}e^{i\omega t}e^{i\omega_0 t}-e^{-i\omega_0 t}e^{-\Omega t}e^{i\omega t}dt=\frac{1}{-\Omega}\frac{1}{i\omega} \frac{1}{i\omega_0} e^{-\Omega t} e^{i\omega t} e^{i\omega_0 t}+(-(\frac{1}{-i\omega_0}\frac{1}{-\Omega}\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega_0 t} e^{-\Omega t} e^{i\omega t}))= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{-\Omega}\frac{1}{i\omega} \frac{1}{i\omega_0} e^{-\Omega t} e^{i\omega t} e^{i\omega_0 t}-(\frac{1}{i\omega_0}\frac{1}{\Omega}\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega_0 t} e^{-\Omega t} e^{i\omega t}))|_0^{\infty} \end{eqnarray*}$

19.01.2013, 13:08

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

und das ist ausgeklammert

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\Omega i\omega i\omega_0}(-e^{\Omega\infty}e^{i\omega\infty}e^{i\omega_0 \infty}-e^{-i\omega_0\infty}e^{-\Omega\infty}e^{i\omega_0 \infty}+1+1) \end{eqnarray*}$

19.01.2013, 13:11

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

du weißt hoffentlich, dass $\begin{align*} e^a\cdot e^b = e^{a+b} \end{align*}$ gilt.

19.01.2013, 13:13

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womanpower
und das ist ausgeklammert

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\Omega i\omega i\omega_0}(-e^{\Omega\infty}e^{i\omega\infty}e^{i\omega_0 \infty}-e^{-i\omega_0\infty}e^{-\Omega\infty}e^{i\omega_0 \infty}+1+1) \end{eqnarray*}$

Aber das ist bis hier hin richtig, oder? Jetzt kann ich noch deinen Tipp verwenden ?

19.01.2013, 13:15

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@un-aachen

Nein, immer noch falsch. Was ist denn $\begin{align*} e^{-\Omega t}\cdot z \end{align*}$ , wenn man $\begin{align*} t = \infty \end{align*}$ setzt?

19.01.2013, 13:18

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womanpower

Zitat:

Aber das ist bis hier hin richtig, oder? Jetzt kann ich noch deinen Tipp verwenden ?

Nein, das ist leider komplett falsch. Denk noch mal nach, im Nenner steht kein Produkt.

19.01.2013, 13:23

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wieso ? Es kommt bei unserem Beispiel immer der Kehrwert der inneren Ableitung bei der Integration nach vorne und das ist doch ein Produkt ?

19.01.2013, 14:14

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst doch den Integranden zusammenfassen zu

$\begin{eqnarray*} e^{(-\Omega + i(\omega + \omega_0))t} + e^{(-\Omega + i(\omega - \omega_0))t} \end{eqnarray*}$

dämmert's jetzt?

19.01.2013, 14:48

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} e^{-\Omega t} \end{eqnarray*}$ die Fkt läuft gegen 0?!?!!

19.01.2013, 22:04

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

exakt, falls $\begin{align*} \Omega > 0 \end{align*}$ .

20.01.2013, 10:14

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

okay ... $\begin{eqnarray*} \omega_0 \Omega \end{eqnarray*}$ sind positive reelle Konstanten d.h man muss dann nicht gucken, was mit $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ <0 passiert.
Und für -unendlich läuft die Funktion auch gegen 0....

Nur was bringt mir das jetzt?
Muss ich nicht die Ergebnisse von beiden Intervallen ( $\begin{eqnarray*} [0, \infty) und (-\infty , 0] \end{eqnarray*}$ )addieren?

Danke smile

20.01.2013, 11:19

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Un-aachen

Muss ich nicht die Ergebnisse von beiden Intervallen ( $\begin{eqnarray*} [0, \infty) und (-\infty , 0] \end{eqnarray*}$ )addieren?

Rechne erst mal das Integral für eines dieser Intervalle korrekt aus. Das habe ich noch nicht gesehen.

20.01.2013, 11:45

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

das bereitet mir ein bisschen Kopfschmerzen obwohl es bestimmt nicht schwer ist unglücklich

Da man ja schlecht mit unendlich rechnen kann würde ich so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \left[ \frac{1}{2}e^{-\Omega t}(\frac{1}{\Omega} +\frac{e^{2i\omega t} }{-\Omega+2i\omega})\right]_{0}^{a} \end{eqnarray*}$

und ich würde sagen, die ganze Funktion geht gegen 0, wenn der Limes gegen unendlich geht, sicher bin ich mir aber nicht

20.01.2013, 12:02

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, wie du da jetzt wieder drauf kommst. Du musst nur über zwei Exponentialfunktionen integrieren (wobei ich mir die Anmerkung erlaube, dass es kaum eine einfacherere Funktion zum Integrieren gibt als die Exponentialfunktionen mit von der Integrationsvariablen linear abhängigem Exponenten. Was ist die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}e^{at} \end{eqnarray*}$ ? Anhand des Ergebnisses: Was ergibt also das Integral $\begin{eqnarray*} \int e^{at}dt = ?? \end{eqnarray*}$ )

Beachte mal bitte diesen Post von mir:

Zitat:

Original von RavenOnJ
Du kannst doch den Integranden zusammenfassen zu

$\begin{eqnarray*} e^{(-\Omega + i(\omega + \omega_0))t} + e^{(-\Omega + i(\omega - \omega_0))t} \end{eqnarray*}$

Da sind nur zwei Exponentialfunktionen zu integrieren, oder hatte ich das schon erwähnt?

20.01.2013, 12:29

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

ohjee dachte meine Integration wäre richtig gewesen... hmm also vergesse ich das mal schnell wieder....

$\begin{eqnarray*} e^{at} ergibt \frac{e^{at} }{a} \end{eqnarray*}$

ahh das mit dem Integranden zusammen fassen habe ich nicht gesehen...
wenn man das integriert ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} e^{-\Omega t} (\frac{e^{ti(w_0+w)} }{i(w_0+w)} +\frac{e^{ti(w-w_0)}}{i(w-w_0)-\Omega} ) \end{eqnarray*}$

hoffe das ist nicht schon wieder falsch, dann bekomme ich noch eine Krise Augenzwinkern

20.01.2013, 14:12

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Un-aachen
ohjee dachte meine Integration wäre richtig gewesen... hmm also vergesse ich das mal schnell wieder....

$\begin{eqnarray*} e^{at} ergibt \frac{e^{at} }{a} \end{eqnarray*}$

Ich nehme mal zu deinen Gunsten an, du meinst

$\begin{eqnarray*} \int e^{at} = \frac 1 a e^{at} \end{eqnarray*}$

Zitat:

ahh das mit dem Integranden zusammen fassen habe ich nicht gesehen...
wenn man das integriert ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} e^{-\Omega t} (\frac{e^{ti(w_0+w)} }{i(w_0+w)} +\frac{e^{ti(w-w_0)}}{i(w-w_0)-\Omega} ) \end{eqnarray*}$

hoffe das ist nicht schon wieder falsch, dann bekomme ich noch eine Krise Augenzwinkern

Es ist immer noch nicht richtig, aber immerhin fast. Da fehlt ein $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ . Außerdem schreibe mal bitte eine ordentliche Gleichung, mit Integralgrenzen. Wenn du immer so schludrig arbeitest, ist es kein Wunder, dass du ständig daneben tappst.

20.01.2013, 18:11

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int e^{(-\Omega +i(\omega+\omega_0))t} +e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}dt =<br /> <br /> \left[(e^{-\Omega t} (\frac{e^{t i(\omega_0+\omega)} }{i(\omega_0+\omega)-\Omega}+\frac{e^{ti(\omega-\omega_0)} }{i(\omega-\omega_0)-\Omega} )\right]_{0}^{\infty } \end{eqnarray*}$

20.01.2013, 20:35

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

... und das jetzt noch ausrechnen und zusamenfassen. Was bleibt denn noch übrig?

20.01.2013, 22:59

Un-aachen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} =\left[ \frac{e^{ti(\omega+\omega_0)-\Omega} }{\Omega-(\omega+\omega_0)i} +\frac{e^{ti(\omega-\omega_0)-\Omega} }{\Omega-(\omega-\omega_0)i}\right]_{0}^{\infty } \end{eqnarray*}$
ahh ich glaub da ist was falsch, muss morgen nochmal nach rechnen, kann den Beitrag leider nicht löschen...

21.01.2013, 12:03

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ
Du kannst doch den Integranden zusammenfassen zu

$\begin{eqnarray*} e^{(-\Omega + i(\omega + \omega_0))t} + e^{(-\Omega + i(\omega - \omega_0))t} \end{eqnarray*}$

dämmert's jetzt?

Wieso wird es denn zu Plus
+ $\begin{eqnarray*} e^{(-\Omega + i(\omega - \omega_0))t} \end{eqnarray*}$

Es muss doch Minus sein. Beim ausmultiplizieren ändert sich doch das Minus nicht?

21.01.2013, 12:08

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, da hast du recht, da muss ein Minus hin. Ich hoffe du weißt, warum.

So ist es, wenn man tagelang Sachen wiederkäut. Da schleichen sich manchmal Fehler ein, weil man den Anfang aus den Augen verliert.

21.01.2013, 12:09

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

ich bring das mal hier endlich zum Ende. Bg

21.01.2013, 12:11

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

das hoffe ich, wird allmählich Zeit ...

21.01.2013, 12:43

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \int\limits^\infty_0 ((e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) )e^{-\Omega t}e^{i\omega t} dt=\frac 1 2 \int\limits^\infty_0 e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}-e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}dt \end{eqnarray*}$

Durch Integration $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} [\frac{e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))t}}{-\Omega i\omega i\omega_0}-\frac{e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))t}}{-\Omega i\omega (-i\omega_0)}]_0^{\infty } \end{eqnarray*}$

Auswerten:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} [\frac{e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))\infty }}{-\Omega i\omega i\omega_0}-\frac{e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))\infty }}{-\Omega i\omega (-i\omega_0)}-(\frac{1}{-\Omega i\omega i\omega_0}-\frac{1}{-\Omega i\omega (-i\omega_0)}] \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} [-\frac{e^{(-\Omega+i(\omega+\omega_0))\infty}+e^{(-\Omega+i(\omega-\omega_0))\infty}}{\Omega i\omega i\omega_0}] \end{eqnarray*}$

Und somit wär's auch der andere Teil fällt weg bzw. kürzt sich heraus.

21.01.2013, 13:28

Womanpower

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ

$\begin{eqnarray*} \sin(\omega_0 t) = \frac{1}{2}(e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) \end{eqnarray*}$ ist folgendes Integral für $\begin{align*} [0,\infty) \end{align*}$ zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \int\limits^\infty_0 ((e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) )e^{-\Omega t}e^{i\omega t} dt \end{eqnarray*}$

@RavenOnJ ist die Darstellung des Sinus mittels Eulerformel nicht fehlerhaft, bzw. fehlt da nicht noch das i bei $\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Also
$\begin{eqnarray*} \sin x = {1 \over 2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right) \end{eqnarray*}$ ???

Woraus folgen würde
$\begin{eqnarray*} \sin(\omega_0 t) = \frac{1}{2i}(e^{i\omega_0 t} -e^{-i\omega_0 t}) \end{eqnarray*}$

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Fourier-Transformation

Verwandte Themen