Konvergenz

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17.01.2013, 19:58	derGraue	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Meine Frage: Für Dezimalzahl $\begin{eqnarray} 0.a_{1}a_{2}a_{3}... \in [0,1], a_{i}\in {0,1,...9} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 0.a_{1}a_{2}a_{3}... = \frac{a_{1}}{10} + \frac{a_{2}}{10²} +\frac{a_{3}}{10³} +... \end{eqnarray}$ Zeige Reihe ist konvergent Meine Ideen: Kann man einfach Quotientenkriterium anwenden und $\begin{eqnarray} a_{n+1} / a_{n} \end{eqnarray}$ rechnen was <1 ist womit bewiesen ist das riehe konvergent ist?
17.01.2013, 20:06	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz ne, das geht so einfach nicht, reihenglieder können ja auch =0 sein. aber du kannst die reihe z.b. gegen eine geometrische reihe abschätzen (majorantenkrit.), von der dir die konvergenz hoffentlich bekannt ist. lg
17.01.2013, 20:10	derGraue	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das mit 0 ist mir gerade geschossen als ich mal alle mögl. durchgegnagen bin majorantenkrit. sagt mir genau nichts, kommt auch in unsren unterlagen nirgends vor
17.01.2013, 20:23	derGraue	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man Vergleichstest anwenden mit der Reihe a1/10 < (a1+1)/10, was man mit quotientenkriterium lösen könnte?
17.01.2013, 20:27	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke was du unter "vergleichstest" kennst ist das majorantenkriterium. aber so wie dus zeigst gehts nicht, denn dann kann der quotient 1 werden. versuche mal wie shon gesagt mit einer geometrischen reihe zu "vergleichen"! lg
17.01.2013, 20:30	derGraue	Auf diesen Beitrag antworten »
aja, das es 1 werden kann wiedermal übersehen aber was wenn ich statt a1+1 einfach a1+0,1 nehme? dann kanns nicht 1 werden? oder bin ich da zu optimistisch? danke schonmal, mit geometr. Reihe wird gleich ausprobiert
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17.01.2013, 20:40	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, da sehe ich jetzt kein problem mehr bei. lg
17.01.2013, 20:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kapiere es gerade nicht Du musst doch dann $\begin{eqnarray} \frac{a_{k+1}+0,1}{10^{k+1}}\frac{10^k}{a_{k}+0,1} \end{eqnarray}$ abschätzen, oder? Aber das muss doch nicht kleiner 1 sein. Du könntest aber die Reihe betrachten, in der $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ durch 1 ersetzt wird, wenn $\begin{eqnarray} a_k = 0 \end{eqnarray}$ und sonst nichts geändert wird.
17.01.2013, 21:00	derGraue	Auf diesen Beitrag antworten »
danke! aber einmall muss ich noch lästig sein um herauszufinden ob ich das jetzt richtig verstanden habe bzw. mache Also ich Vergleiche $\begin{eqnarray} \frac{a_{1}}{10} + \frac{a_{2}}{10²} + \frac{a_{3}}{10³} +... < \frac{a_{1}+0,1}{10} + \frac{a_{2}+0,1}{10²} + \frac{a_{3}+0,1}{10³} +... \end{eqnarray}$ von der reihe $\begin{eqnarray} \frac{a_{1}+0,1}{10} + \frac{a_{2}+0,1}{10²} + \frac{a_{3}+0,1}{10³} +... \end{eqnarray}$ bilde ich das quotientenkriterium: $\begin{eqnarray} \frac{a_{2} +0,1}{10a_{1}+1} < 1 \end{eqnarray*}$ wobei das dann wieder nicht stimmt bei zB a2=1, a1=0
17.01.2013, 21:10	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
@url: na wenn er quot.krit. machen will dann sollte das schon <1 sein. @dergraue: ich glaube du musst noch etwas an deinen bruch-multiplizier-skills arbeiten lg
17.01.2013, 21:22	derGraue	Auf diesen Beitrag antworten »
huh? wo is mein fehler?
17.01.2013, 21:32	derGraue	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\frac{a_{2}+0,1 }{10} }{\frac{a_{1}+0,1 }{10^2}} = \frac{(a_{2}+0,1)10 }{(a_{1}+0,1)10^2} =\frac{a_{2} +0,1}{(a_{1} +0,1)10} \end{eqnarray*}$
17.01.2013, 21:34	derGraue	Auf diesen Beitrag antworten »
oops, beim doppelbruch 10 und 10² vertauscht...
17.01.2013, 21:35	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
hups, verguckt, sry^^. aber das mit dem "ein kleines bisschen überall draufaddieren" ist doch einfach keine gute idee - tut mir leid, hab nicht richtig nachgedacht - das mit quot.krit. funktioniert einfach wirklich nur wenn die koeffizienten zwischen 1 und 9 sind (jetzt versteh ich erst was url meinte). also einfach deine reihe gegen eine ähnliche abschätzen, wo aber die koeffizienten zwischen 1 und 9 (oder zumindst betr.mäßig echt kleiner als 10) sind - das führt dich zu meiner erstgenannten oder der von url vorgeschlagenen variante. lg
17.01.2013, 21:37	derGraue	Auf diesen Beitrag antworten »
also man kann einfach sagen für an=0 setze ich 1 ein und das wars
17.01.2013, 21:47	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau. du definierst dir eine neue solche reihe mit neuen koeffizienten b_n := a_n falls a_n>0 und b_n := 1 sonst. oder du schätzt einfach gleich alle a_n gegen 9 ab, ist genauso gut. lg

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