Sandwich-Lemma

17.01.2013, 20:01

michaelKonrad

Sandwich-Lemma

Hallo.

$\begin{eqnarray*} a_n = 2x \cdot \sqrt[n]{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Grenzwert von a_n mit n gegen unendlich bestimmen will, dann muss ich doch beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert.

Ich würde das gerne mit dem Sandwich-Lemma machen, aber ich bin mir bei den Grenzen nicht sicher.

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \sqrt[n]{n+1} \leq ? <br /> <br /> \sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n+1} \leq ? \end{eqnarray*}$

Sind beide Ansätze richtig?
Ich weiß einfach nicht welche obere Grenze ich nehmen soll, denn mir ist doch nur $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ bekannt.

Habt ihr einen Tipp?

Danke.

17.01.2013, 20:10

Admiral

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$\begin{eqnarray*} \leq\sqrt[n]{n+n} \end{eqnarray*}$

17.01.2013, 20:11

Screwhal

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RE: Sandwich-Lemma
Ich habe 2 Tipps für dich.
1) Bedenke dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_n}= \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist praktisch um den GW n-ter Wurzeln zu bestimmen
2) Substitution, will sagen setzte $\begin{eqnarray*} m=n+1, \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n+1} = \lim_{m \to \infty } \sqrt[m-1]{m} \end{eqnarray*}$
Sandwich würde ich hier nicht anwenden. Geht aber auch du kannst 1 hoch nach n abschätzen.

17.01.2013, 21:12

michaelKonrad

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RE: Sandwich-Lemma
Hallo Admiral und Screwhal

@Admiral

Und woher weiß ich das der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n+n} \end{eqnarray*}$
1 ist?

Ich weiß es doch nur für $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ +

Oder kann man das irgendwie umformen?

@ Screwhal

Zu 1:

Woher weiß ich das? $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_n}= \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

Was ist das für ein Satz den habe ich noch nicht gesehen?

Zu 2:

Und was bringt mir die Substitution nun?
Für die m-1ste Wurzel weiß ich doch gar nichts.

Danke

18.01.2013, 01:28

Screwhal

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RE: Sandwich-Lemma
@michaelKonrad
Oh ist schon etwas spät ich versuche dir mal auf alle deine Fragen zu antworten.
Du weisst ja dass für alle a>0 gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a^{\frac{1}{n}} = a^{0}= 1 \end{eqnarray*}$ Was gilt dann für $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (2n)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty }{2}^{\frac{1}{n}}\cdot \lim_{n \to \infty }{n}^{\frac{1}{n}}= ? \end{eqnarray*}$ Wobei die Aufspaltung erlaubt war weil beide Grenzwerte existieren.

Warum $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ den selben Grenzwert haben musste ich auch nochmal nachschlagen. Schau dir Lemma 3 an: http://math.uga.edu/~pete/243series4.pdf Was folgt also wenn der Grenzwert (also normaler Limes) existiert? Genau dass beide den selben Grenzwert haben.

Hat ein -1 (das nicht von m abhängt) Einfluss auf den GW? Wohl kaum. Denn $\begin{eqnarray*} \infty -1=\infty \end{eqnarray*}$ Formel korrekt: $\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty } m^{\frac{1}{m-1}} =\lim_{m \to \infty }e^{\frac{1}{m-1}\cdot ln(m)} , \lim_{m \to \infty } \frac{ln(m)}{m-1} =^{Hosp.} \lim_{m \to \infty } \frac{1}{m} = 0 \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty }e^{\frac{1}{m-1}\cdot ln(m)}=e^0=1 \end{eqnarray*}$ . Dir fällt auf dass das für alle endliche Zahlen gilt die du zu m addierst oder subtrahierst da die Ableitung verschwindet. Ich will damit sagen dass alle endliche Zahlen die nicht von m abhängen keinen Einfluss auf den GW haben und das muss man auch nicht mehr zeigen wenn man das weiss.

18.01.2013, 01:37

Screwhal

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RE: Sandwich-Lemma
Was du nicht darfst ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n+1}= \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ setzen mit der Begründung dass 1 eine endliche Zahl ist, denn hier hängt die 1 noch von n ab

18.01.2013, 07:47

RavenOnJ

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RE: Sandwich-Lemma

Zitat:

Original von Screwhal
..., denn hier hängt die 1 noch von n ab

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