Welches Format hat eine orthogonale Basis, die ...

17.01.2013, 20:38	setone	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches Format hat eine orthogonale Basis, die ... Meine Frage: Es soll gezeigt werden, dass die Abbildung Q, die eine Orthonormalbasis auf eine andere Orthonormalbasis abbildet orthogonal ist. Mir ist zwar klar, was orthogonale Matritzen sind und auch, dass man Abbildungen als Matritzen auffassen kann aber ich habe keine Ahnung von welchem Format diese Matrix sein soll. Kernproblem fuer mich ist, dass ich nicht weiß wie die Abbildung einer Basis (die ja aus mehreren Vektoren besteht) funktionieren soll... Fasst man dabei die Basis als Matrix auf? ps: hab vergessen, dass die abbildung ausm R2 in den R2 abbildet und die Orthonormalbasis aus 2 Basisvektoren bestehet. mehr ist nicht gegeben. Meine Ideen: Sobald ich etwas ueber die matrix weiß kann ich hosffentlich die eigenschaften nutzen, dass das skalarprodukt der basen 0 ergibt, weil es ja eine orthonormalbasis ist
17.01.2013, 21:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welches Format hat eine orthogonale Basis, die ... Die Aufgabe stammt nicht zufällig aus Lineare Algebra für Ingenieure an der TU Berlin? Gemeint ist folgendes: Ist $\begin{eqnarray} \{b_1,b_2\} \end{eqnarray}$ eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray} \{Qb_1,Qb_2\} \end{eqnarray}$ eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist nun, dass $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt erhält: $\begin{eqnarray} \langle Q\vec u,Q\vec v\rangle=\langle\vec u,\vec v\rangle \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} u,v\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Zumindest ist das die einfachere Variante; die Musterlösung sieht noch einen anderen Weg vor, den braucht man aber wirklich nicht zu finden.
18.01.2013, 22:23	setjd	Auf diesen Beitrag antworten »
ja du hast recht - is ne hausaufgabe an der berliner tu musste sie allerdings heute vormittag schon abgeben, da ich es immernoch nicht verstehe konnte ich die aufgabe natürlich nicht zufriedenstellend bearbeiten :x du sagst man soll zeigen, das Q das skalarprodukt erhält aber ich weiß gar nicht, wie man das anstellen kann. das ist ja genau der punkt, an dem ich nicht weiter komme, weil ich nicht weiß wie die matrix aussieht, wie in meiner frage beschrieben. wir sind uns doch aber einig, dass $\begin{eqnarray} \langle Q\vec b_1,Q\vec b_2\rangle= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\langle\vec b_1,\vec b_2\rangle \end{eqnarray}$ ist oder? muss ja, wenn Q auf eine ONB abbildet. Jetzt versteh ich aber nicht, wieso die aussage, dass Q orthogonal ist, bewiesen ist, wenn man zeigt, dass $\begin{eqnarray} \langle Q\vec u,Q\vec v\rangle=\langle\vec u,\vec v\rangle \end{eqnarray}$ gilt :o
19.01.2013, 12:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich glaube, die Aufgabe bringt euch ohnehin nur drei Punkte Das Skalarprodukt zu erhalten, ist eine charakteristische Eigenschaft orthogonaler Matrizen, siehe auch Wiki. Hattet ihr doch auch in der Vorlesung, oder? Um das zu zeigen, kannst du ausnutzen, dass du jeden Vektor im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ als Linearkombination der Basiselemente schreiben kannst. Und ja, die Gleichung $\begin{eqnarray} \langle Q\vec b_1,Q\vec b_2\rangle=0=\langle\vec b_1,\vec b_2\rangle \end{eqnarray}$ gilt hier.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »