Verständnisfrage zur Integralrechnung

17.01.2013, 22:26

Tubbycore

Verständnisfrage zur Integralrechnung

Hi ich steig gleich mal mit folgendem Beispiel ein:
$\begin{eqnarray*} \int\sqrt[4]{2x+5}\,dx = \int(2x+5)^{\frac{1}{4}} \newline f(x)=x^{\frac{1}{4}} F(x)=\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} g(x)=ax+b=2x+5 \newline => \frac{2}{5}(2x+5)^{\frac{5}{4}}+c \end{eqnarray*}$

Warum kann man jetzt folgendes sagen?
$\begin{eqnarray*} \frac{F(ax+b)}{a}+c \end{eqnarray*}$
Warum kann man das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einfach rausziehen?
Wieso muss man nichts mit dem Term in der Klammer machen? Gibt es denn nicht sowas wie das nachdifferenzieren für das Integral?
Kanns einfach nicht ganz nachvollziehen.

Danke im vorraus smile

17.01.2013, 23:03

Dopap

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das ist eigentlich keine grosse Sache.

ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int \cos(x) \dd x =\sin(x) +c \end{eqnarray*}$ , soweit klar.

$\begin{eqnarray*} \int \cos(ax+b) \dd x = \sin(ax+b) +c \end{eqnarray*}$

wäre falsch, da beim Ableiten nach Kettenregel der Faktor a hinzukommt.

Demnach fügt man den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac 1 a \end{eqnarray*}$ hinzu um das auszugleichen.

$\begin{eqnarray*} \int \cos(ax+b) \dd x =\frac 1 a \sin(ax+b) +c \end{eqnarray*}$

Merke: gibt es eine Stammfunktion in x dann gibt es einfacherweise auch eine Stammfunktion für das lineare Argument ax+b

--------------------------------

zu vielen Dank im Voraus :

http://www.frustfrei-lernen.de/deutsch/i...schreibung.html

17.01.2013, 23:14

Tubbycore

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hm. irgendwie logisch^^. Mich hat nur verwirrt das man mit der inneren Funktion irgendwie nichts macht und sie einfach so nehmen kann.

Bei einer quadratischen Funktion kann man das aber nicht anwenden oder?
$\begin{eqnarray*} \int cos(ax^{2}+bx+c) \end{eqnarray*}$

17.01.2013, 23:24

Dopap

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Zitat:

...Mich hat nur verwirrt, dass man mit der inneren Funktion irgendwie nichts macht und sie einfach so nehmen kann.

Bei einer quadratischen Funktion kann man das aber nicht anwenden oder?
$\begin{eqnarray*} \int cos(ax^{2}+bx+c) \end{eqnarray*}$

auf keinen Fall! Das geht nur bei linearen Argumenten.

aber durch Schaden wird man klug. Theoretisch würde gelten:

$\begin{eqnarray*} \int cos(ax^{2}+bx+c)= \frac {1}{2ax+b}\sin(ax^2+bx+c) +d \end{eqnarray*}$

und jetzt mit Ableitung überprüfen, das wird nix unglücklich

17.01.2013, 23:56

Tubbycore

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ah okay dankeschön. :]
Anscheinend ist das dann kein Schulstoff mehr Augenzwinkern

18.01.2013, 00:10

Dopap

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ehrlich gesagt ist das Integral anscheinend möglich, die genauen Einzelheiten sind mir aber auch teilweise unverständlich,

Das zu deiner Beruhigung Augenzwinkern

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