Grenzwertaufgabe u. rekursiv definierte Folgen

17.01.2013, 22:46

Infinity731

Grenzwertaufgabe u. rekursiv definierte Folgen

Hallo!

Hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen:

1.)
$\begin{eqnarray*} An \rightarrow a (n\rightarrow \infty); a>0 Bn \rightarrow \infty (n\rightarrow \infty) \Rightarrow e^{-an*bn} \rightarrow 0(n\rightarrow \infty) \end{eqnarray*}$

Nun, versuche ich sämtliche Kombinationen durch, weil ich weiß,
dass unser Prof. oft "hinterlistige" Aufgaben stellt... jedoch komme
ich immer nur auf ein "wahres" Ergebnis.

Habe beispielsweise
$\begin{eqnarray*} An = (1-\frac{1}{n}) Bn = n \end{eqnarray*}$

gesetzt erhalte dann aber:
$\begin{eqnarray*} e^{-n+1}=\frac{1}{e^\infty}=0 \end{eqnarray*}$

Geht diese Aufgabe/Aussage wirklich auf... oder kann man es schaffen,
dass man im Exponenten beispielweise etwas positives herausbekommt und
das ganze gegen Unendlich geht und somit die Aussage falsch ist???

2.)
Thema Rekursiv Definierte Folgen:

Ich habe zu beweisen:
$\begin{eqnarray*} An+1=\frac{3}{2+\frac{2}{An}} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

ist. Nun frage ich mich, wie ich das beweisen könnte (mittels Induktion).
Reicht es aus, die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einfach für An einzusetzen,
und die Ungleichung aufzulösen oder MUSS ich den linken Ausdruck schrittweise
aufbauen...etwa so:

$\begin{eqnarray*} An\geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{An} \leq 4 \Leftrightarrow 2+\frac{2}{An} \leq 6 \Leftrightarrow \frac{3}{2+\frac{2}{An}} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

???

18.01.2013, 09:07

klarsoweit

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RE: Grenzwertaufgabe u. rekursiv definierte Folgen

Zitat:

Original von Infinity731
$\begin{eqnarray*} e^{-n+1}=\frac{1}{e^\infty}=0 \end{eqnarray*}$

Das ist formal etwas wackelig. Schauen wir mal, wie man das Thema angehen könnte.

Also wenn a_n gegen a mit a > 0 konvergiert, dann gibt es ein n_1, so daß $\begin{eqnarray*} a_n > \frac a 2 > 0 \end{eqnarray*}$ ist für alle n mit n > n_1.

Wähle C > 0 beliebig. Da b_n gegen plus unendlich divergiert, gibt es ein n_2, so daß $\begin{eqnarray*} b_n > \frac{2C}{a} \end{eqnarray*}$ für alle n mit n > n_2.

Für n > n_0 := max(n_1, n_2) gilt somit: $\begin{eqnarray*} a_n \cdot b_n > \frac a 2 \cdot \frac{2C}{a} = C \end{eqnarray*}$

Also divergiert a_n * b_n gegen plus unendlich bzw. -a_n * b_n gegen minus unendlich. Daraus folgt, daß $\begin{eqnarray*} e^{-a_n \cdot b_n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Zitat:

Original von Infinity731
Ich habe zu beweisen:
$\begin{eqnarray*} An+1=\frac{3}{2+\frac{2}{An}} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Gemeint ist: $\begin{eqnarray*} A_{n+1} = \frac{3}{2+\frac{2}{A_n}} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Der Beweis im Induktionsschritt ist ok. Es fehlt noch der Induktionsanfang.

18.01.2013, 12:00

Infinity731

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Danke schon einmal für die prima Antwort,

Nachfrage:
1.) Ich habe nich so richtig verstanden, wie Du das mit dem Max und C gemacht
hast um es zu beweisen... aber die Aussage wäre somit richtig, ja?

2.) Ok danke. Induktionsanfang hatte ich mir hier mal gespart, weil
der sehr ersichtlich war.

Dazu hätte ich aber noch 2 Fragen:

1) Hätte ich auch die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einfach für An einsetzen können?!
Oder würde sowas keinen Sinn ergeben bzw. der Induktion widersprechen?
2.) Was wäre wenn ich folgende Form hätte:
$\begin{eqnarray*} 2+ \sqrt{1+An} \geq 0 \end{eqnarray*}$ hätte? Wie gehe ich da im Induktionssluss vor?
Darf ich da die 0 für An einsetzen ODER baue ich es wieder nacheinander
, wie oben, beginnend mit : $\begin{eqnarray*} An \geq 0 \end{eqnarray*}$ ???

18.01.2013, 12:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Infinity731
1.) Ich habe nich so richtig verstanden, wie Du das mit dem Max und C gemacht
hast um es zu beweisen... aber die Aussage wäre somit richtig, ja?

Die Aussage ist richtig und den Beweis mußt du dir nochmal durch den Kopf gehen lassen. Augenzwinkern

zu 2: im Grunde mußt du nur ganz formal vorgehen und folgendes notieren:

a) Was will ich beweisen? Was muß ich insbesondere im Induktionsschritt beweisen?
b) Was ist vorausgesetzt und darf demzufolge verwendet werden?

Wenn in deiner Voraussetzung steht, daß $\begin{eqnarray*} A_n \geq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ gilt, dann kann ich mir nur schwer vorstellen, daß du lediglich mit dem Einsetzen von A_n = 1/2 (in was eigentlich?) zum gewünschten Ergebnis kommst.

18.01.2013, 17:23

Infinity731

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Zu 1 nochmal:

Ich glaube nun es ist doch möglich, denn es gilt:

e Funktion ist stetig, also kann man das "-1" aus dem Exponenten
vorziehen und hätte dann nun stehen: -1 * e^(An*Bn)

Korrekt?

21.01.2013, 09:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Infinity731
e Funktion ist stetig, also kann man das "-1" aus dem Exponenten
vorziehen und hätte dann nun stehen: -1 * e^(An*Bn)

Was soll denn dieser Unfug? Da mußt du dir dringend nochmal die Potenzregeln anschauen. Auch helfen so kleine Checks: e hoch irgendwas ist immer positiv und jetzt kommt durch deine Umformung immer was negatives raus. Wie das?

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