Nash-Verhandlungslösung

18.01.2013, 10:37

Nash-Bargaining

Nash-Verhandlungslösung

Meine Frage:
Hallo,
ich habe mal eine Frage an die Experten hier im Forum. Ich muss folgendes NAsh-Produkt nach w ableiten:

$\begin{eqnarray*} ((\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}-w_{0}(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) * ((\frac{w}{a})^\frac{a}{a-1} -w(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis soll dies herauskommen:
$\begin{eqnarray*} w = \frac{1}{2}*\frac{a+1}{a}w_{0} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee ist zunächst das Produkt mit Hilfe von ln zu vereinfachen, sodass aus dem Produkt eine Summe wird --> Ableitung würde sich vereinfachen. Dann habe ich nach w abgeleitet, aber leider komme ich nicht auf dieses Endergebnis.

Eventuell kann mir ja jemand helfen, ich komme einfach nicht weiter mit der Rechnung!

18.01.2013, 12:51

Dopap

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wie kommt man von der Ableitung eines Terms zu einer Gleichung verwirrt

18.01.2013, 13:22

Nash-Bargaining

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Die Bedingung erster Ordnung wird gleich =0 gesetzt und dann eben nach w aufgelöst! Dann hast du eine Gleichung ;-)

18.01.2013, 14:20

Dopap

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RE: Nash-Verhandlungslösung
$\begin{eqnarray*} \frac {\partial}{\partial w}\bigg [((\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}-w_{0}(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) * ((\frac{w}{a})^\frac{a}{a-1} -w(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1})\bigg ]=0 \quad \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w = \frac{1}{2a+1} \end{eqnarray*}$

das erfüllt die obige Gleichung. verwirrt

Habe das mit CAS auf meinem Taschenrechner gerechnet.

18.01.2013, 14:37

Nash-Bargaining

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RE: Nash-Verhandlungslösung
Hallo,

erstmal vielen Dank!

Mhhh aber wenn ich mir dein Ergebnis anschaue, frage ich mich wohin die Variable $\begin{eqnarray*} w_{0} \end{eqnarray*}$ verschwunden ist! Eigentlich müsste diese ja im Ergebnis noch auftauchen?

18.01.2013, 15:33

RavenOnJ

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RE: Nash-Verhandlungslösung
$\begin{eqnarray*} f(w) = ((\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}-w_{0}(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) * ((\frac{w}{a})^\frac{a}{a-1} -w(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) \end{eqnarray*}$

Erst mal ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} f(w) = (1-w_0) \Big\{\Big(\frac{w}{a}\Big)^\frac{a+1}{a-1} -w \Big(\frac{w}{a}\Big)^\frac{2}{a-1}\Big\} \end{eqnarray*}$

Allein daran kann man schon sehen, dass auch Ableiten und dies dann =0 Setzen nicht zu deiner Lösung führen kann, denn da dürfte kein Faktor $\begin{align*} w_0 \end{align*}$ mehr auftauchen. Ich nehme an, in deiner Funktion ist ein Fehler, vermutlich im Exponenten eines Terms in der 1. Klammer. Muss einer davon vielleicht $\begin{eqnarray*} \frac{a}{a-1} \end{eqnarray*}$ sein?

18.01.2013, 17:04

Dopap

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RE: Nash-Verhandlungslösung
$\begin{eqnarray*} \frac {\partial}{\partial w}\bigg [((\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}-w_{0}(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) * ((\frac{w}{a})^\frac{{\color{red}a}}{a-1} -w(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1})\bigg ]=0 \quad \to ?? \end{eqnarray*}$

ich hatte auch einen Schreibfehler, statt der roten a eine 1.

richtig geschrieben findet das CAS keine Lösung.

18.01.2013, 23:40

Nash-Bargaining

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RE: Nash-Verhandlungslösung
Mhhh das ist die Lösung ie im Skript angegeben ist.

Dann mache ich beim Einsetzen der Funktionen in das NAsh-Produkt irgendetwas falsch. Ich fange am besten mal von vorne an.

Problemstellung: Lohnverhandlung zwischen Gewerkschaft und Unternehmen

Die Ausgangsfunktion der Nash Verhandlung ist folgende:

$\begin{eqnarray*} max_{w} NP = (V(w)-V_{0})G(w) \end{eqnarray*}$

wobei
$\begin{eqnarray*} V(w) = wL + (N-L)w_{0} \end{eqnarray*}$
--> Nutzenfunktion der Gewerkschaft.

$\begin{eqnarray*} G(w) = L^{a} - wL \end{eqnarray*}$
--> Gewinnfunktion der Unternehmen.

$\begin{eqnarray*} V_{0} = w_{0}N \end{eqnarray*}$
--> Nutzen der Gewerkschaft bei einer Nichtübereinkunft zwischen beiden Partnern

Der erste Schritt im Skript ist nun folgender:

Ableitung der Gewinnfunktion nach L um die Arbeitsnachfragefunktion zu erhalten:

Diese ist wie folgt motiviert und kann auch leicht nachgeprüft werden:
$\begin{eqnarray*} L(w) = (\frac{w}{a})^{\frac{1}{a-1} } \end{eqnarray*}$

Diese wird dann in die Nutzenfunktion der Unternehmung für L eingesetzt und ebenso in die Gewinnfunktion.

Wenn ich die ganzen Funktionen in das Nash-Produkt einsetze komme ich auf meine Gleichung im ersten Beitrag. Diese ist nicht im Skript dargestellt, eventuell mache ich hier den entscheidenden Fehler. Das Ergebnis ist aber dafür wieder Bestandteil des Skripts.

20.01.2013, 13:26

Nash-Bargaining

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RE: Nash-Verhandlungslösung
[quote]Original von RavenOnJ
$\begin{eqnarray*} f(w) =(w(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}-w_{0}(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) * ((\frac{w}{a})^\frac{a}{a-1} -w(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) \end{eqnarray*}$

Du hast Recht, ich habe einen Fehler in meiner Formel gefunden. Und zwar hat das w ganz links gefehlt.

Aber trotzdem komme ich nicht auf das Ergebnis im Skript!! traurig

20.01.2013, 13:53

HAL 9000

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Auch bei der nunmehr veränderten Funktion kann man vor dem Differenzieren deutlich vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} f(w) = \left( w \left( \frac{w}{a} \right)^{\frac{1}{a-1}}-w_0 \left( \frac{w}{a} \right)^{\frac{1}{a-1}} \right) \cdot \left( \left( \frac{w}{a} \right)^{\frac{a}{a-1}} -w \left( \frac{w}{a} \right)^{\frac{1}{a-1}} \right) = (1-a) a^{-\frac{a+1}{a-1}} \cdot \left( w^{\frac{2a}{a-1}}-w_0 \cdot w^{\frac{a+1}{a-1}} \right) \end{eqnarray*}$ .

20.01.2013, 15:04

RavenOnJ

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RE: Nash-Verhandlungslösung

Zitat:

Original von Nash-Bargaining
$\begin{eqnarray*} f(w) =(w(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}-w_{0}(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) * ((\frac{w}{a})^\frac{a}{a-1} -w(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}) \end{eqnarray*}$

Die rechte Klammer könnte man einfacher schreiben:

$\begin{eqnarray*} \Big(\frac{w}{a}\Big)^\frac{a}{a-1} -w\Big(\frac{w}{a}\Big)^\frac{1}{a-1} = (1-a)\Big(\frac{w}{a}\Big)^{\frac{a}{a-1}} \end{eqnarray*}$

Das ganze also

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \begin{align*}f(w) &=\Big\{w\Big(\frac{w}{a}\Big)^\frac{1}{a-1}-w_{0}(\frac{w}{a})^\frac{1}{a-1}\Big\} \cdot \Big\{\Big(\frac{w}{a}\Big)^\frac{a}{a-1} -w\Big(\frac{w}{a}\Big)^\frac{1}{a-1}\Big\} &= (1-a)(w-w_0)\Big(\frac{w}{a}\Big)^{\frac{a+1}{a-1}} \end{align*} \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Leite das mal ab.

20.01.2013, 15:49

Nash-Bargaining

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RE: Nash-Verhandlungslösung
Habe ich gemacht aber ich komme nicht auf das oben genannte Ergebnis!

Ich glaube ich gebe es auf!!

Vielen Dank aber an alle ;-)

20.01.2013, 15:54

HAL 9000

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Diesmal haut es aber hin $\begin{eqnarray*} w = \frac{a+1}{2a}w_{0} \end{eqnarray*}$ ist hier tatsächlich Nullstelle der Ableitung. Und dass du aufgeben willst bei bloßer Ableitung von Potenzfunktionen, zeugt nicht gerade von Rückgrat. unglücklich

20.01.2013, 16:14

Nash-Bargaining

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Ja ich weiß auch nicht warum ich bei dieser Aufgabe so auf dem Schlauch stehe, aber ich komme nicht auf das Ergebnis.

Hast du das Ergebnis mit einem CAS-Rechner erhalten oder selbst berechnet?

20.01.2013, 16:33

HAL 9000

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Selbst berechnet. Wie gesagt, es sind nur Potenzfunktionen, und in der Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(w) = (1-a) a^{-\frac{a+1}{a-1}} \cdot \left( w^{\frac{2a}{a-1}}-w_0 \cdot w^{\frac{a+1}{a-1}} \right) \end{eqnarray*}$

oder der von RavenOnJ doch nun wirklich sehr übersichtlich.

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