Lösungsmenge komplexer Gleichungen

18.01.2013, 13:51

StevenSpielburg

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Lösungsmenge komplexer Gleichungen

Hallo,
Ich habe mal eine frage zu der Bestimmung einer Lösungsmenge einer komplexen Gleichung.
Hier die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{z-1}{z-2} =\frac{1+i}{2-i} \end{eqnarray*}$

Ich habe den rechten Teil schon konjugiert komplex erweitert. Allerdings komme ich jetzt nicht weiter bei der Umformung nach z. Hat einer eine Idee bzw. Ansatz für mich?

18.01.2013, 13:53

Steffen Bühler

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RE: Lösungsmenge komplexer Gleichungen
Wie bei normalen Gleichungen auch: beide Seiten mal z-2.

Viele Grüße
Steffen

18.01.2013, 14:00

HAL 9000

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Wobei ich zwecks Vermeidung von zu vielen, aufwändigen Divisionen mir diesen Teil

Zitat:

Original von StevenSpielburg
Ich habe den rechten Teil schon konjugiert komplex erweitert.

gespart hätte und gleich zu

$\begin{eqnarray*} (z-1)(2-i) = (z-2)(1+i) \end{eqnarray*}$

übergegangen wäre. Aber ist egal, beide Wege führen zum Ziel.

18.01.2013, 14:01

StevenSpielburg

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$\begin{eqnarray*} Z-1=\frac{(1+i)(z-2)}{2-i} \end{eqnarray*}$
So dann also? Okay wie mache ich weiter?

18.01.2013, 14:04

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
wie mache ich weiter?

Ausmultiplizieren (wobei der Tip von HAL9000 recht gut ist!) und dann halt alles, was bei z steht, distributiv zusammenfassen und auf eine Seite bringen.

Viele Grüße
Steffen

18.01.2013, 14:54

StevenSpielburg

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Okay danke für die schnelle Hilfe. Konnte damit jetzt die ersten Aufgaben lösen. Hänge allerdings jetzt wieder an einer Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-i} -\frac{1}{z-1} =1+i \end{eqnarray*}$

Habe die Linke Seite erweitert, aber jetzt komme ich nicht weiter...

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18.01.2013, 14:58

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
Habe die Linke Seite erweitert

Zeig doch mal.

Viele Grüße
Steffen

18.01.2013, 15:04

StevenSpielburg

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$\begin{eqnarray*} \frac{(z-1)-(z-i)}{(z-i)(z-1)} =1+i \end{eqnarray*}$

18.01.2013, 15:08

Steffen Bühler

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Im Zähler ist (auch nach dem edit) noch ein Vorzeichenfehler. Ansonsten nur Mut, das gibt eine quadratische Gleichung.

Viele Grüße
Steffen

18.01.2013, 15:20

StevenSpielburg

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$\begin{eqnarray*} \frac{-1+i}{z^{2}-z-iz+i } =1+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1+i}{1+i} =z^{2} -z-iz+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 = z^{2} -z-iz+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1-i = z(z-1-i) \end{eqnarray*}$

18.01.2013, 15:28

Steffen Bühler

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Vorzeichenfehler in der zweiten Zeile links. Ansonsten forme so um, daß Du die pq-Formel verwenden kannst.

Viele Grüße
Steffen

18.01.2013, 15:46

StevenSpielburg

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$\begin{eqnarray*} 0=z^{2} -z-iz+i+iz^{2} -iz-i^{2} z +i^{2} +1-i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=z(z-2i+iz) \end{eqnarray*}$

18.01.2013, 16:06

StevenSpielburg

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Okay damit sollte ich die Lösungsmenge rausbekommen.
Ich habe noch so eine ähnliche Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z} +z=i \end{eqnarray*}$

Hier habe ich noch keine Idee wie ich anfangen könnte. Gibt es da evtl eine grundlegende Vorgehensweise wie man an solche Aufgaben dran gehen kann um schnell auf das Ergebnis zu kommen?

18.01.2013, 16:26

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
Okay damit sollte ich die Lösungsmenge rausbekommen.

Ja, das paßt.

Zitat:

Original von StevenSpielburg
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z} +z=i \end{eqnarray*}$

Hier habe ich noch keine Idee wie ich anfangen könnte.

Auf beiden Seiten mal z. Gibt wieder eine quadratische Gleichung.

Zitat:

Original von StevenSpielburg
Gibt es da evtl eine grundlegende Vorgehensweise wie man an solche Aufgaben dran gehen kann um schnell auf das Ergebnis zu kommen?

Nein. Außer üben, üben, üben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße
Steffen

31.01.2013, 13:20

alexisonfire

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Lösungsmenge komplexer Gleichung
Hallo,
ich habe das gleiche Problem mit der selben Aufgabe nur komme ich bei dem ausmultiplizieren nicht weiter....

Zitat:

Original von StevenSpielburg
$\begin{eqnarray*} Z-1=\frac{(1+i)(z-2)}{2-i} \end{eqnarray*}$
So dann also? Okay wie mache ich weiter?

ich bin jetzt so weit:
$\begin{eqnarray*} Z-1= \frac{[(a-2)-3b]+i [3(a-2)+b]}{5} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für jede Hilfe

31.01.2013, 15:00

Steffen Bühler

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RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung

Zitat:

Original von alexisonfire
$\begin{eqnarray*} Z-1= \frac{[(a-2)-3b]+i [3(a-2)+b]}{5} \end{eqnarray*}$

Gut, so stimmt's. Jetzt setz für das linke z ebenfalls a+bi (es ist zwar großgeschrieben, aber soll dasselbe z sein!), dann hast Du links und rechts jeweils einen Real- und Imaginärteil, den Du jeweils gleichsetzen kannst. So erhältst Du dann a und b.

Viele Grüße
Steffen

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