Topologien - Offenheit

18.01.2013, 13:14

GastMathematiker324

Topologien - Offenheit

Hallo, folgende Definition gibt mir zu knabbern:

de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge#Topologischer_Raum

Wenn ich als Beispiel mal X = [0,1] setze also die menge aller reellen zahlen zwischen(einschließlich) 0 und 1.
Dann baue ich mir eine Topologie mittels T = { 0,X}, 0 sei die leere Menge.
Axiom 1 ist erfüllt.
Axiom 2 ist ebenso erfüllt, denn 0 geschnitten 0, oder 0 geschnitten X oder X geschnitten X ist element von T.
Axiom 3 ebenso, denn X vereinigt mit X ist X, 0 vereinigt mit 0 ist 0 und X vereinigt mit 0 ist X.

Gemäß der Definition müsste also X offen sein. Es ist aber abgeschlossen, wo liegt also mein Denkfehler?

18.01.2013, 13:30

zweiundvierzig

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Jeder topologische Raum ist für sich selbst genommen sowohl offen als auch abgeschlossen, eben weil ja stets er und sein Komplement (die leere Menge) in der Topologie enthalten sind. Als Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachtet, ist $\begin{eqnarray*} [0,1] = ((-\infty,0) \cup (1,\infty))^C \end{eqnarray*}$ aber abgeschlossen und nicht offen.

Edit: Siehe Teilraumtopologie.

19.01.2013, 08:49

Namenloser324

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Hallo, danke für die Antwort. Aber wieso wird mal(hab bei wiki zwei version gesehen) ein Element der Topologie als offen und mal als abgeschlossen(jeweils in separaten definitionen) bezeichnet? In meinem Skript hört sich das so an, als wären durch die vorgegebenen Eigenschaften einer Topologie alle Elemente der Topologie automatisch offen(falls es sich um norm. Vektorräume handelt dann offenheit identisch zur Definition mittels Umgebung), was ja nicht der Fall zu sein scheint(siehe mein Beispiel)

19.01.2013, 10:42

RavenOnJ

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So ist eine Topologie definiert: Alle Teilmengen eines topologischen Raums, die zu der Topologie gehören werden als offen bezeichnet. In deinem Fall betrachtest du zwei verschiedene Räume, einmal $\begin{align*} X = [0,1] \end{align*}$ und dann $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ . Außerdem hast du auf dem Intervall $\begin{align*} X \end{align*}$ die einfachst mögliche Topologie definiert, indem diese nur $\begin{align*} \emptyset \end{align*}$ und $\begin{align*} X \end{align*}$ enthält. du betrachtest also 1.) zwei unterschiedliche Räume und 2.) zwei unterschiedliche Topologien, d.h. die auf $\begin{align*} X \end{align*}$ genommene Topologie ist nicht die von der natürlichen Topologie auf $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ induzierte Teilraumtopologie.

Aber selbst wenn du die induzierte Topologie genommen hättest, wäre in der Teilraumtopologie das Intervall $\begin{align*} X \end{align*}$ immer noch offen, da es einen Schnitt mit einer offenen Menge aus $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ gibt, der gerade wieder $\begin{align*} X \end{align*}$ ergibt, nämlich $\begin{align*} X = \mathbb R \cap X \end{align*}$ .

19.01.2013, 18:55

Namenloser324

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Hmm, also wo habe ich denn zwei verschiedene Räume betrachtet? R als ganzes habe ich nicht betrachtet nur die Teilmenge [0,1]. Dann eine Topologie definiert mit eben(wie du gesagt hast) der leeren Menge und [0,1] als Elemente, weshalb nun [0,1] offen sein soll, was aber natürlich unwahr ist. Ich verstehe nicht wieso alle Elemente einer Topologie die wie hier de.wikipedia.org/wiki/Topologie_%28Mathematik%29#Offene_Mengen gebaut sind offen sein sollen, eben weil mein obiges Beispiel alle Axiome erfüllt, aber die Grundmenge [0,1] nicht offen ist sondern abgeschlossen.

19.01.2013, 19:06

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Namenloser324
aber die Grundmenge [0,1] nicht offen ist sondern abgeschlossen.

Offenheit und Abgeschlossenheit sind keine Eigenschaften, die eine Menge an sich hat. Betrachtet man auf einem beliebigen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal O \end{eqnarray*}$ , dann gilt immer $\begin{eqnarray*} X,\emptyset \in \mathcal O \end{eqnarray*}$ .

Wenn Du also eine beliebige Topologie auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ betrachtest, wie die in deinem Anfangsposting definierte indiskrete Topologie $\begin{eqnarray*} \{[0,1], \emptyset\} \end{eqnarray*}$ (oder die von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ induzierteTeilraumtopologie), dann ist $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ zwangsläufig sowohl offen als auch abgeschlossen.

Wenn Du aber die euklidische Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachtest, dann ist $\begin{eqnarray*} [0,1] \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Komplement einer offenen Menge eben abgeschlossen (und nicht offen).

Edit:

Zitat:

Original von Namenloser324
Hmm, also wo habe ich denn zwei verschiedene Räume betrachtet?

Das tust Du implizit, wenn Du behauptest, $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ sei abgeschlossen, aber nicht offen. Das geht eben per Definition des Begriffs Topologie nur, wenn Du die Topologie auf einem größeren Grundraum als $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ betrachtest.

Zitat:

Original von Namenloser324
Ich verstehe nicht wieso alle Elemente einer Topologie die wie hier de.wikipedia.org/wiki/Topologie_%28Mathematik%29#Offene_Mengen gebaut sind offen sein sollen

Das ist die allgemeine Definition für Offenheit! Eine Menge wird offen bezüglich einer bestimmten Topologie genannt, wenn sie Element dieser Topologie ist.

19.01.2013, 19:46

Namenloser324

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Namenloser324
aber die Grundmenge [0,1] nicht offen ist sondern abgeschlossen.

Zitat:

Original von Namenloser324
Hmm, also wo habe ich denn zwei verschiedene Räume betrachtet?

Zitat:

Original von Namenloser324
Ich verstehe nicht wieso alle Elemente einer Topologie die wie hier de.wikipedia.org/wiki/Topologie_%28Mathematik%29#Offene_Mengen gebaut sind offen sein sollen

Das ist die allgemeine Definition für Offenheit! Eine Menge wird offen bezüglich einer bestimmten Topologie genannt, wenn sie Element dieser Topologie ist.

Oh, stimmt natürlich(abgeschlossen bezogen auf R), liegt ja eigentlich schon im wort(abgeschlossen wogegen)^^ ok ok, dann denk ich das nochmal durch, ich danke euch vielmals smile

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