Potenzreihe / Konvergenzradius

18.01.2013, 15:30

WunderWutz

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Potenzreihe / Konvergenzradius

Hey, habe hier ein paar Aufgaben, bei denen ich mir relativ sicher bin, dass ich sie richtig ausgerechnet habe,....was dann wohl heißt das sie falsch sind.
Bitte, kann jemand mal drüber schauen?

Berechne den Konvergenzradius:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n ((k+1)/((k+2)*(k+3))x^k) \end{eqnarray*}$ = 1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (1+3(-1)^k)x^k \end{eqnarray*}$ = |(1+3(-1)^1)| = 1/2

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (\begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} x^k) \end{eqnarray*}$
= (2k+1)/((k+1)*(k+1)*(k+2)) = |ak+1/ak| ; hier weiß ich nicht wie ich weiter kürzen könnte.
R=1/lim|ak+1/ak| =0

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (((k-1)!)^2/(2*(2k)!))(2x)^(2k) \end{eqnarray*}$
Die hier habe ich zwar schon ausgerechnet, jedoch habe ich dabei nicht bedacht, dass ^2k steht und nicht ^k, wenn ich stur durchrechnen würde, würde ich auf 2 kommen, aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich das nicht darf. Könnte mir da jemand erklären was ich damit machen muss?

Wäre nett wenn jemand drüberschaun kann.
Wenn ich die Rechenschrite dazuschreiben soll, müsst ihrs halt sagen.

18.01.2013, 15:36

Che Netzer

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RE: Potenzreihe / Konvergenzradius
Die ersten beiden Konvergenzradien stimmen, beim zweiten hast du dich wohl verrechnet.

Bei der vierten könntest du z.B. $\begin{eqnarray*} y:=(2x)^2 \end{eqnarray*}$ substituieren, dann hättest du dieselbe Reihe mit $\begin{eqnarray*} y^k \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (2x)^{2k} \end{eqnarray*}$ .
Darauf kannst du deine bisherige Rechnung anwenden und am Ende rücksubstituieren.

18.01.2013, 18:25

WunderWutz

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RE: Potenzreihe / Konvergenzradius

Zitat:

Original von Che Netzer
Die ersten beiden Konvergenzradien stimmen, beim zweiten hast du dich wohl verrechnet.

Meinst du, dass das dritte Beispiel falsch ist?

Zitat:

Bei der vierten könntest du z.B. $\begin{eqnarray*} y:=(2x)^2 \end{eqnarray*}$ substituieren, dann hättest du dieselbe Reihe mit $\begin{eqnarray*} y^k \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (2x)^{2k} \end{eqnarray*}$ . Darauf kannst du deine bisherige Rechnung anwenden und am Ende rücksubstituieren

Hmmm ich versteh irgendwie nicht so ganz wo dann der Unterschied ist.
Ich rechne doch sowieso nicht mit dem x, wenn ich jetzt einfach stattdessen ein y einsetze verwende ich für meine Rechnung doch trotzdem nur die vordere Folge.

18.01.2013, 19:14

Che Netzer

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RE: Potenzreihe / Konvergenzradius
Ja, mit "zweiten" meinte ich "dritten", d.h. bei der dritten hast du dich verrechnet smile

smile

Einen Unterschied macht das aber durchaus. Du erhältst nach deiner bisherigen Rechnung eine Bedingung an $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , nicht nur an $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert \end{eqnarray*}$ .

18.01.2013, 19:38

WunderWutz

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Okay, habe jetzt nochmal die dritte durchgerechnet, jedoch wieder auf das gleiche gekommen smile

smile

Hier ist meine Vorgehensweise:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} x^k \end{eqnarray*}$
(n über k) <=> n!/(k!(n-k)!) = 2k! / k!(k)!
|ak+1/ak| =

$\begin{eqnarray*} \frac{(2k+1)!}{(k+1)!(k+2)!} \frac{k!k!}{2k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(2k+1)!k!k!}{k!(k+1)(k+1)!(k+2)2k!} \end{eqnarray*}$ ; (k+1)! = k!(k+1) ; (2k+1)! = 2k!(2k+1)

$\begin{eqnarray*} \frac{2k+1}{(k+1)(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Ich komme immer auf dieses Ergebnis, wie sonst?

18.01.2013, 19:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von WunderWutz
|ak+1/ak| =

$\begin{eqnarray*} \frac{(2k+1)!}{(k+1)!(k+2)!} \frac{k!k!}{2k!} \end{eqnarray*}$

Das stimmt schon nicht. Besonders der linke Bruch, beim rechten fehlen nur Klammern.

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18.01.2013, 21:16

WunderWutz

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Hmmm

$\begin{eqnarray*} \frac{(2k+1)!} {(k+1)!(k+2)!} \frac{2k!}{k!(k)!} \end{eqnarray*}$ Das soll ein Doppelbruch sein. Der rechte ist unter dem linken.
Wird zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2k+1)!((k!)(k!))}{(k+1)!(k+2)!(2k!)} \end{eqnarray*}$

Wo stimmt der Bruch nicht? Ich beachte doch alle Regeln? Außen mal Außen, Innen mal Innen.
Und die Fakultäten dürfte ich wohl auch korrekt gesetzt haben.

18.01.2013, 21:26

Che Netzer

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Das soll vielleicht ein Doppelbruch sein, aber das solltest du auch deutlich machen.
Und der "obere" Bruch ist keineswegs $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

19.01.2013, 11:56

WunderWutz

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hmmm
Die Formel geht doch: n!/(k!(n-k)!) ?
= 2k! /(k!(k)!)
ak+1 = (2k+1)!/((k+1)!(2k+1-(k+1))!)=(2k+1)!/((k+1)!(k)!)

?

19.01.2013, 12:11

Che Netzer

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Die kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} 2k+1 \end{eqnarray*}$ ?

19.01.2013, 13:18

WunderWutz

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Keine Ahnung, weiß nicht was sonst weiter.

Naja mal zum 4.
In wie fern bringt es was wenn ich y=2x^2 setze, ich rechne doch sowieso nur mit ak?
Jedenfalls:

$\begin{eqnarray*} \frac{k!^2 * 2*(2k)!}{2*(2k+1)!*(k-1)!^2} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \frac{k!^2 * 2}{2*(2k+1)*(k-1)!^2} \end{eqnarray*}$ = k/(2+1/k)

R= 1/lim (k/(2+1/k)) = 0.

Ist denn das wenigstens richtig, wo sollte ich dann rücksubstitunieren?

19.01.2013, 13:20

Che Netzer

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Wenn du den Konvergenzradius einer Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum a_ky^k \end{eqnarray*}$ kennst, welche hinreichende Bedingung (als Ungleichung) kannst du dann für die absolute Konvergenz der Potenzreihe angeben?

Edit: Und was passiert, wenn du in $\begin{eqnarray*} (2k)! \end{eqnarray*}$ die Variable $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ ersetzt?

19.01.2013, 20:15

WunderWutz

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|x-x0| < R -> absolut Konvergent

(2(k+1))= 2k+2

19.01.2013, 21:13

Che Netzer

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Zitat:

Original von WunderWutz
|x-x0| < R -> absolut Konvergent

Es geht um die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum a_ky^k\,. \end{eqnarray*}$
(mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R\geq0 \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

(2(k+1))= 2k+2

Das sieht doch schon besser aus.

20.01.2013, 15:46

WunderWutz

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pff, ich verstehe jetzt nicht ganz genau was du anonsten mit deiner Frage meinst.
Für mich heißt dass: Wann ist eine Reihe absolut konvergent?

Wenn |x-x0| < r , ist sie absolut konvergent und für
|x-x0| > r ist sie divergent.

Was meinst du?

20.01.2013, 16:03

Che Netzer

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Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_ky^k \end{eqnarray*}$ mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ konvergiert also für $\begin{eqnarray*} \lvert x-x_0\rvert<r \end{eqnarray*}$ ?

20.01.2013, 18:34

WunderWutz

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Hmm wenn ich y=(2x)^2 setze...
Willst du auf (r*2x)^2 hinaus? Oder einfach nur r^2 ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.01.2013, 18:42

Che Netzer

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Zitat:

Original von WunderWutz
Hmm wenn ich y=(2x)^2 setze...

Was ist denn dann?
Nochmals:
Welche Ungleichung impliziert die Konvergenz der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_ky^k \end{eqnarray*}$ , wenn diese den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ hat?

So etwas wie y=(2x)^2 oder r^2 sind keine Antworten auf diese Frage verwirrt

verwirrt

20.01.2013, 19:27

WunderWutz

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na wenn y-y0 < als R ist

20.01.2013, 20:14

Che Netzer

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Was bitte ist denn $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ ?
Und so würde es ja für beliebig kleine $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auch konvergieren.

20.01.2013, 20:29

WunderWutz

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Ja, mehr kann ich auch nicht sagen, so steht das auf Wikipedia.
Nach meinem Verständnis müsste ich überhaupt etwas abziehen, da ich ja mit ^2k rechne, also die Wurzel von y nehme < R aber dass wirst du wohl auch nicht meinen.
Aber andererseits denke ich mir wieder, dass ich das ja gar nicht brauche, weil ich ja eh nicht das x für den Konvergenzradius benötige, also es eigentlich komplett unnötig ist.

Kann es sein, dass die dritte Reihe den Radius 1 hat?

20.01.2013, 20:37

Che Netzer

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Da scheint dir ein grundlegendes Verständis zu fehlen.
$\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ wäre in diesem Fall Null und es fehlen Beträge. D.h. die genannte Reihe konvergiert für $\begin{eqnarray*} \lvert y\rvert<R \end{eqnarray*}$ .
Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} y=(2x)^2 \end{eqnarray*}$ , wann konvergiert dann
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_ky^k=\sum_{k=1}^\infty a_k(2x)^{2k}\,? \end{eqnarray*}$

Und wie hast du denn den Konvergenzradius Eins berechnet?

20.01.2013, 21:11

WunderWutz

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Jop, ist mir klar, aber irgendwie finde ich es auch logisch was ich da oben geschrieben habe.
Naja im Endeffekt will ich ja nur durch diese blöden LVs durchkommen, wofür ich jetzt schon seit nem Monat alles auswendig lerne.

y < R hatte ich doch oben weiter schon geschrieben? Das y0 null ist war soweit klar.

code:
1:	wann konvergiert dann

Ich verstehe noch nichtmal weshalb ich in diese Rechnung das (2x)^mit einbeziehen muss, verwendet wird es für das R sowieso nicht, dass wäre schon mal schön zu verstehen. Das ich es danach benötige für den Grenzwert, ok, aber so....

keine Ahnung, wenn |2x^2 -0| kleiner R

$\begin{eqnarray*} \frac{(2k+2)!*k!*k!}{(k+1)!(k+1)!*2k!} = \frac{(2k+2)!}{(k+1)(k+1)*2k!} =\frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)(k+1)} = \frac{(1+1/k)*(1+2/k)}{(1+1/k)*(1+1/k)} \end{eqnarray*}$

20.01.2013, 21:29

Che Netzer

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Zitat:

Original von WunderWutz
y < R hatte ich doch oben weiter schon geschrieben?

Ist nur leider falsch.

Zitat:

keine Ahnung, wenn |2x^2 -0| kleiner R

Ja, und das kannst du nun zu einer Ungleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umstellen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2k+2)!*k!*k!}{(k+1)!(k+1)!*2k!} = \frac{(2k+2)!}{(k+1)(k+1)*2k!} =\frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)(k+1)} = \frac{(1+1/k)*(1+2/k)}{(1+1/k)*(1+1/k)} \end{eqnarray*}$

Hier ist der letzte Schritt falsch.

20.01.2013, 21:56

WunderWutz

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Weil die betragsstriche fehlen?

Okay, danke, aber das beantwortet noch immer nicht meine Frage was mir das bringt wenn ich nur R ausrechnen soll? Wenn ich den Grenzwert benötige ok, aber so?

Ok, das hatte ich mir schon fast gedacht.
Obwohl ich auch falsch abgeschrieben habe es hätten 2 2er sein sollen, also:
4/1 -> r= 1/4

20.01.2013, 22:08

Che Netzer

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Ja, weil die Betragsstriche fehlen.
Und wenn du den Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k(2x)^{2k} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du den von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_ky^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y:=(2x)^2 \end{eqnarray*}$ berechnen, weil du da die üblichen Methoden verwenden kannst.
Du erhältst dann $\begin{eqnarray*} \lvert y\rvert=\lvert(2x)^2\rvert<R \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ der Konvergenzradius der zweiten genannten Reihe sei), was du zu $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert<\dotso \end{eqnarray*}$ umstellen kannst.

21.01.2013, 21:30

WunderWutz

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Hmm okay, danke, dann merke ich mir einfach mal, dass man nur mit x^k rechnen darf und das ansonsten umformt.
Mal schauen, danke für die Hilfe.

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