Doppelpost! Konfidenzintervall

18.01.2013, 15:48	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Konfidenzintervall Gegeben sei eine Stichprobe $\begin{eqnarray} X_1, X_2, X_3, X_4,...,X_n \end{eqnarray}$ eines normalverteilten Merkmals X mit unbekanntem Erwartungswert m und bekannter Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 = 36 \end{eqnarray}$ . Wie groß muss der Stichprobenumfang n sein, damit ein 95,44% - Konfidenzintervall für den Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ höchstens die Länge d = 3 hat? Hi Leute! Ich hab bei der Aufgabe jetzt also auch schon mal angefangen, komme aber dann an einer bestimmten Stelle nicht mehr weiter: $\begin{eqnarray} 1-\alpha = 0,9544 \Leftrightarrow \alpha = 0,0456 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow P\left( -z_{1-\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \leq z_{1-\frac{\alpha}{2}} \right) = 1- \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow P\left( -z_{0,9772} \leq \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \leq z_{0,9772} \right) = 0,9544 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow P\left( -2 \leq \frac{\overline{X} - n\cdot p}{\sigma}\sqrt{n} \leq 2 \right) = 0,9544 \end{eqnarray}$ So laut Aufgabe soll ich ja nun den Stichprobenumfang n ermitteln. Ich hab an dieser Stelle schon viel versucht. $\begin{eqnarray} \mu = n \cdot p \end{eqnarray}$ bspw. an Stelle $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ eingesetzt. Auch hab ich die Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \sqrt{n \cdot p(1-p)} \end{eqnarray}$ ersetzt. Alles hat mich nicht weiter gebracht. Und vor allem was ist eigentlich d=3? Könnt ihr mir weiterhelfen?
18.01.2013, 18:46	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich denke, prinzipiell deine Überlegungen sind schon mal ganz gut. Das Stichprobenmittel $\begin{eqnarray} \overline{x} \end{eqnarray}$ musst du allerdings nicht standardisieren. Wenn du dir, z.B. bei Wikipedia das Konfidenzintervall anschaust, dann sieht es so aus: $\begin{eqnarray} \Bigg[ \overline{x}-z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \overline{x}+z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigg] \end{eqnarray}$ Dieses Intervall hat die Länge 3. Wegen der Symmetrie der Normalverteilung kann man die Länge des Intervalls auch schreiben als: $\begin{eqnarray} 2\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ . Und diese Länge soll $\begin{eqnarray} \leq 3 \end{eqnarray}$ sein. $\begin{eqnarray} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ hast du im Prinzip ja schon richtig bestimmt. Grüße.
18.01.2013, 20:04	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich glaube ich komme nun auf das richtige Ergebnis! Hier mal noch mein Rechenweg: $\begin{eqnarray} \left[\Rightarrow \overline{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \overline{X}-z_{1+\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\Rightarrow \overline{X}-z_{0,9772} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \overline{X}-z_{0,9772} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\Rightarrow \overline{X}-2 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \overline{X}-2 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \end{eqnarray}$ Aus Gründen der Symmetrie folgt: $\begin{eqnarray} \Rightarrow 2 \cdot 2 \cdot \frac{6}{\sqrt{n}} \leq 3 \Leftrightarrow 64 \leq n \end{eqnarray}$ Dieses $\begin{eqnarray} -z_{1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_{1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray}$ ist ja die untere und obere Grenze des Konfidenzintervalls dessen Länge ja d=3 sein soll. Haben diese zwei Unter- und Obergrenzen auch einen spezifischen Formelbuchstaben? Denn diese zwei Grenzen müssten ma ja in der Normalverteilung auch eintragen können, oder?
18.01.2013, 20:59	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine spezifische Bezeichnung fällt mir da nicht ein. Man kann es aber definieren: $\begin{eqnarray} a=\overline{x}-z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\overline{x}+z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ Ich habe auch $\begin{eqnarray} n \geq 64 \end{eqnarray}$ raus.
19.01.2013, 12:51	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Danke für deine Hilfe! Hat mich gefreut!
19.01.2013, 12:57	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dort hattest du auch angefragt: http://www.matheraum.de/read?t=943630 Solches Crossposting ist unerwünscht, in der Regel werden die Threads geschlossen. Hier ist es leider zu spät. edit: Dein Verhalten ist besonders dreist, da du bereits vorgestern darauf hingewiesen worden bist, dass du das Crossposting zu unterlassen hast. Du wirst mit einer Verwarnung rechnen müssen, wenn du weiterhin auf diese Weise gegen das Boardprinzip verstößt.
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19.01.2013, 13:12	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@bandchef Du siehst doch, dass das Crossposting nicht zielführend gewesen ist. Du hättest du den anderen Thread schließen können. Zumindest hätte ich das so gemacht, wenn ich keine Antwort bekommen würde. Trotzem freut es mich, dass es geklappt hat. @sulo Sehr aufmerksam von Dir.

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