Dimension eine Matrix

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chris85 Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eine Matrix
Hi,

Betrachte im die drei Vekoren

Bestimme die Dimension des von aufgespannten Unterraums und eine Basis von


Also erstmal die Dimension:

Das ist meine Matrix:



Ich habe auf Stufenform umgeformt, das sieht bei mir dann so aus:



Und nun würde ich aufgrund der 2 Zeilen die nicht komplett Null sind darauf tippen, dass die Dimension 2 ist.

Andererseits sind doch alle Vektoren lin. abhängig wenn ich das richtig sehe, oder ich steh gerade auf dem Schlauch. Kann mir jemand helfen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension eine Matrix
Richtiges Verfahren. Flasher Titel. Eine Matrix hat einen Rang, keine Dimension...

Gut, du hast sie auf Zeilenstufenform gebracht. Ja, die 3 Spalten/Zeilenvektoren sin linear abhängig. aber wir können 2 Auswählen, die linear unabhängig sind. Spalte/Zeile 1-2.

Wenn Du dich jetzt etwas mit Matrizen (Transformation etc.) beschäftigt hast, dann weißt du dass in den SPalten der Matrix die Bilder der verwendeten Basisvektoren stehen. Bzgl. einer Basis kann man jedes Element eindeutig darstellen, deswegen gilt für den Bildraum:





chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das weiß ich... ich sehe aber gerade nicht wie du hier von der zweiten zur dritten Spalte kommst. Wieso lässt du da weg?







Und zur Basis: Diese wäre ja dann z.B

Ist das richtig?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3 Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des Bildraums. Wie Du richtig erkannt hast, aber keine Basis, da sie linear abhängig sind. Also reduziere ich auf ein maximal linear unabhängiges System. Deswegen fliegt der letzte Vektor raus.

Nein, deine Basis ist falsch. Im Bildraum sind doch nicht alle 3er,4er Komponenten 0...

du darfst hierfür nicht einfach die Dreiecksmatrix nehmen. Es gilt, dass bei

Ax =b

....

Dx = c

Der Lösungsraum gleich bleibt, aber Dx ist nicht gleich Ax
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay.Ich dachte dass die Standardbasis immer eine Basis eines Vektor- bzw. Untervektorraumes ist.

...Dann ist die Basis doch einfach , da die Vektoren lin. unabhängig sind und auch ein Erzeugendes System.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Betrachte im die drei Vekoren

Bestimme die Dimension des von aufgespannten Unterraums und eine Basis von


Dann liegt ja wohl . Erzeuge mir diesen Vektor mit der von dir gewählten Basis.
 
 
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja das stimmt, das ist dann wohl falsch!
Mir fällt jetzt gerade auch nicht ein wie das geht.
Wäre es möglich dass meine Basis ist, denn mit diesen beiden Vektoren kann man auch erzeugen und beide sind von einander lin. unabh.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das in diesem Fall so ist, dann sind sie eine Basis. Gilt aber nicht als Regel "nimm die ersten 2"
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "die ersten 2"?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wäre es möglich dass meine Basis ist, denn mit diesen beiden Vektoren kann man auch erzeugen und beide sind von einander lin. unabh.


Das.
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay, das ist dann halt gerade Zufall, was müsste man denn tun um die Basis zu bestimmen wenn das jetzt nicht gerade so wäre?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
tigerbine an chris85






Aus einem deiner anderen Threads. Welche Vektorn würdest du hier als Basis wählen?

Sind die, die in der unteren Matrix l.u. es auch in der oberen?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die beiden lin. unabh. Vektoren oben sind auch unten lin. unabh.
Also und oben undunten.

Hm aber was ist jetzt die Basis?


Kann man doch jeden Vektor erzeugen oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also die beiden hattest du bei der Treppenmatrix sicher nicht ausgesucht. Ausserden war der Rang der MAtrix 3 und wir brauchen 3 Vektoren.
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »



Muss man hier nicht die Vektoren nehmen die in der transformierten Matrix stehen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Schon, aber man würde doch Spalte 1,2 und 4 wählen, oder?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

JA, die sind lin. unabhängig zu einander. Sie können allerdings nicht alle Vektoren erzeugen, z.B. der letzte.

ICh glaube irgendwas verstehe ich gerade falsch oder stehe ziemlich heftig auf dem Schlauch.

Kannst du mir mal erklären wie du meinst?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

do, die drei können alle Vektoren auch dem erzeugen. auch den letzten.

Hast du überhaupt verstanden, warum man eine Matrix auf Treppenstufenform bringt?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch den letzen Vektor?Wie machst du das?

Ja, man bringt sie doch auf Treppenform um die Anzahl der lin. unabhängigen Vektoren zu bestimmen und damit den Rang der Matrix
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt willste wohl Zahlen, oder was? Ich weiß das die Spaltenvektoren 1,2,4 linear unabhängig sind, also eine Basis des R³ bilden. Da die 5te spalte auch im R³ liegt, kann ich sie als LK der Basis darstellen. Da brauch ich gar nix rechnen.

Wenn Du die Koeffizienten wissen willst, löse das LGS



Gibt ja die Mathetools Augenzwinkern
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man klaro, da hätte ich auch selbst drauf kammen müssen!

Also eine Basis besteht praktisch nur aus Vektoren die lin. unabh. zu sich sind und jeden Vektor im Vektorraum erzeugen kann.

In einem 2 dim. Vektorraum hat die Basis demnach 2 Vektoren, im 3 dim. 3 ...usw.

Das ist doch richtig oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Und zum bestimmen der MAtrix, geht man dann da von der ursprünglichen Matrix oder von der in stufenform aus?






Dürfte eigentlich egal sein oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zum bestimmen welcher Matrix?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, zum bestimmen der Basis wollte ich schreiben Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir den Gaußalgo mal mit Matrizen scheiben, Wie hängen dann die beiden Zusammen?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht wie du das meinst. Beim Gauß Aloga. wird doch solange umgeformt bis es passt.
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke dass es egal ist weil ich durch eine Linearkombination dann warhscheinlich jeden Vektor erzeugen kann.

Dann dürfte es doch gleichbedeutend sein ob

oder



meine Basis ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind hier doch nicht im Ruhrpott

"Was nicht passt wird passend gemacht" Big Laugh

Bei Gauß sind elementare Zeilenumformungen zulässig. Diese entsprechen der Anwendung von Elementarmatrizen auf die Matrix A.

Wie sieht deine Antwort jetzt aus?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht genau was du mir damit sagen möchtest. Gut, die Zeile werden elementar umgeformt, da sind wir uns ja einig. Dadurch ändern sich die Vektoren doch der Wert der Matrix bleibt gleich.Ich denk man muss die Vektoren aus der Ausgangsmatrix als Basis nehmen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt der Wert der Matrix bleibt gleich? verwirrt
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Determinante meine ich damit
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch mal zu dem Beispiel die Matrizen aufzustellen, die für die elementaren Operationen stehen.
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Die elementaren Operationen sind doch die Zeile mit einer Zahl ungleich Null zu multiplizieren, eine Zeile zu einer anderen zu addieren oder zu subtrahieren.

Das weiß ich doch...

Wie ist das aber jetzt mit den Basisvektoren? Die muss man doch aus der Ausgangsbasis nehmen oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass muss man. Aber woher weißt Du, z.b. wenn die Matrix größer ist, welche die linear unabhängie Auswahl ist?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm das kann ich jetzt auch nicht sagen, ich hätte gedacht, dass man dazu immer auf die Matrix zurückgrift mit der man begonnen hat zu rechnen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber sagen wir du hast eine 10x10 Matrix mit Rang 5. Woher weißt du, welche Spalten du auswählen musst?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Das weiß ich jetzt auch nicht.
Rang 5 bedeutet ja dass es 5 lin. unabhängige Vektoren gibt, und von denen muss ich mir dann welche aussuchen.
Nach welchem Schema sucht man sich dann diese aus?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen die Frage nach den Matrizen, die für den Gaußalgo stehen Augenzwinkern
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe darauf aber leider keine Antwort. Wie ist es damit?
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