Divergenz einer Reihe

18.01.2013, 16:41

steviehawk

Divergenz einer Reihe

Meine Frage:
Hallo Leute, ich weiß nicht, wie ich bei dieser Reihe hier abschätzen soll:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n-3}{n^2+4n-9} \end{eqnarray*}$

ich weiß schon, dass sie divergent ist, aber ich schaffe keine Abschätzung nach unten!

Meine Ideen:
Danke für jeden Tipp smile

18.01.2013, 16:48

Mystic

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RE: Divergenz einer Reihe
Du musst den Nenner vergrößern, z.B. zu n²+4n+4, und dann eine PBZ durchführen...

18.01.2013, 16:56

10001000Nick1

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RE: Divergenz einer Reihe
Du meinst bestimmt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k-3}{k^2+4k-9} \end{eqnarray*}$ .

Was bedeutet PBZ?

18.01.2013, 17:00

Mystic

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RE: Divergenz einer Reihe
PBZ=Partialbruchzerlegung...

Und ja wieder mal eine falsche Summationsvariable.. Über solche Dinge liest man mittlerweile schon hinweg... unglücklich

20.01.2013, 12:30

steviehawk

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RE: Divergenz einer Reihe
Okay, ich habe das mal durchgerechnet und haben dann folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{-3}{n^2+4n-9} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{-3}{n^2+4n+4} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+2} - 5 \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+2)^2} \end{eqnarray*}$

Weil nun die Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$ divergent ist, muss die Summe (Differenz) der Reihen auf jeden Fall divergent sein, auch wenn die zweite Reihe konvergiert (was sie ja offensichtlich tut - harmonische Reihe als Majorante wählen)

Dass die letzte Reihe konvergiert kann ich ja mit der harmonischen Reihe als Majorante zeigen.

Was ich noch nicht schaffe, ist zu zeigen, dass die Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$ wirklich divergiert.
Irgendwie ist es ja eine Art harmonische Reihe. Aber ich kann sie nicht nach unten Abschätzen, weil ja: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gilt.

Wie kann ich das zeigen?

EDIT: Okay, ich glaube ich habe den Trick raus Tanzen

Ich möchte noch zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$ wirklich divergiert. Hierzu benötige ich eine Abschätzung nach unten, die ich noch nicht kenne, daher führe ich ein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein so dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} \geq \frac{1}{mn} \end{eqnarray*}$

dann folgt: $\begin{eqnarray*} mn \geq n+2 \end{eqnarray*}$ da dies nun für alle n gelten muss setze ich mal das kleinste n ein: Also 1 und erhalte:

$\begin{eqnarray*} m \geq 3 \end{eqnarray*}$

dann habe ich meine Abschätzung gefunden: denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} \geq \frac{1}{3n} \end{eqnarray*}$ das gilt jetzt für alle natürlichen Zahlen. Ich kann ja dann noch 1/3 vor die harmonische Reihe schreiben, dann kann ja wohl keiner mehr meckern smile

21.01.2013, 17:44

steviehawk

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RE: Divergenz einer Reihe
Weil es so viel Spaß macht, möchte ich noch zeigen, dass es auch ohne PBZ geht, die hatte man in der Vorlesung auch noch gar nicht behandelt:

Betrachte die folgende Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \frac{n-3}{n^2+4n-9} \geq \frac{n-3}{n^2+4n} = \frac{n-3}{n(n+4)} = \frac{n(1-\frac{3}{n} )}{n(n+4)} = \frac{1-\frac{3}{n} }{n+4} = \frac{1}{n+4} -\frac{3}{(n+4)n} \end{eqnarray*}$

Gilt für unsere Reihe:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(n-3)}{n^2+4n-9} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+4} - \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n^2+4n} <br /> \end{eqnarray*}$
die erste Reihe divergiert, das kann man wieder zeigen, wie ich es in der letzten Antwort gemacht habe. Dann ist auch egal was die andere Reihe macht (sie konvergiert wohl). Die Summe (Differenz) der beiden ist jedenfalls divergent.

So passt es denke ich auch ohne PBZ! Wink

21.01.2013, 18:05

Mystic

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RE: Divergenz einer Reihe
Ja, ich habe auch gar nicht behauptet, dass man das nur auf dem von mir vorgeschlagenen Weg machen kann, aber es ist auf jeden Fall eine Möglichkeit, wenn einem nichts besseres einfällt... Augenzwinkern

21.01.2013, 18:42

RavenOnJ

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RE: Divergenz einer Reihe

Zitat:

Original von steviehawk
da dies nun für alle n gelten muss ...

Das ist zu kompliziert gedacht. Endlich viele Reihenglieder bräuchten deine Ungleichung nicht erfüllen, ohne dass es an der Divergenz etwas ändert. Es könnten Millionen Glieder der ursprünglichen Reihe sein, Hauptsache, es sind nur endlich viele, die unter der Minorante liegen. Insofern könntest du auch 2 für dein m nehmen.

21.01.2013, 19:16

Leopold

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RE: Divergenz einer Reihe

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{-3}{n^2+4n-9} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{-3}{n^2+4n+4} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+2} - 5 \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+2)^2} \end{eqnarray*}$

Bei dieser Abschätzung wird über so vieles hinweggeschlampt, daß einem graust. Solche Abschätzungen machen nur Sinn für Reihen mit positiven Gliedern. Daß da im Zähler $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ steht, wird von Dir völlig ignoriert. Sicher, letztlich kommt es nur auf den Betrag an. Aber dann muß man das auch sagen und im Ansatz berücksichtigen. Zudem ist der Nenner für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ negativ, was einem die Abschätzung zusätzlich verdirbt. Sicher, für die Konvergenz sind endlich viele Glieder nicht entscheidend. Aber dann muß man das auch wieder im Ansatz berücksichtigen, indem man zum Beispiel erst ab $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ summiert.

21.01.2013, 19:21

steviehawk

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RE: Divergenz einer Reihe
Danke für die Kritik! Ok die erste Abschätzung ist also Käse, weil da -3 im Nenner steht, aber ich hab es ja noch ein Mal ohne PBZ gemacht da passt es ja!

22.01.2013, 10:03

Jello Biafra

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RE: Divergenz einer Reihe

Zitat:

Original von steviehawk
...
die erste Reihe divergiert,... Dann ist auch egal was die andere Reihe macht...

Von Argumentationsweisen dieser Art solltest Du Dich schleunigst verabschieden.

Wenn Du schon abschätzt - was sich hier tatsächlich anbietet - dann mach es auch so, dass sich das Ganze dadurch auch vereinfacht.

Wie schon gesagt wurde ist das Verhalten endlich vieler Summanden für die Konvergenz der Reihe vollkommen irrelevant.

Also könntest Du hier z.B. für $\begin{eqnarray*} k\geq 9 \end{eqnarray*}$ wie folgt abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{k-3}{k^2+4k-9}\geq\frac{k-3}{k^2+6k-27}=\frac 1{k+9}. \end{eqnarray*}$

Setze nun zunächst $\begin{eqnarray*} K:=\sum_{k=1}^8 \frac{k-3}{k^2+4k-9}. \end{eqnarray*}$

Damit folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac{k-3}{k^2+4k-9}=K+\sum_{k=9}^n\frac{k-3}{k^2+4k-9}\geq K+\sum_{k=18}^{n+9} \frac 1k\longrightarrow \infty \text{ für }n\to\infty. \end{eqnarray*}$

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