Isomorphismus Faktorraum->Bild

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Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus Faktorraum->Bild
Hallo!

Es geht um folgendes:

Gegeben ist die lineare Abbildung




Bestimmen Sie und geben Sie einen Isomorphismus an.
Drücken Sie für alle das Urbild
als Funktionswert einer unter Verwendung von auf definierten Abbildung aus.

Soo, zum ersten Teil, ich hab hier einfach die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis bestimmt, d.h. ich bin dann auf die Matrix

gekommen.
Davon hab ich nun den Kern bestimmt, hier bin ich auf
gekommen.
Das Bild hab ich auch mittels der Abbildungsmatrix bestimmt.
Ich hoffe das stimmt soweit.

Jetzt ist aber der Zeitpunkt wo ich dann nicht mehr weiterweis.
Wir haben diese Woche den Faktorraum in der VO definiert, mittels einer Äquivalenzrelation, aber ich habe einfach keine Ahnung, wie ich nun wirklich bestimmen kann, welche Elemente nun in diesem Faktorraum liegen, und welche nicht?

Also welche Elemente liegen hier z.b. im Faktorraum ?
Ich kann mir das einfach nicht vorstellen...

Wäre für Hilfe wirklich sehr Dankbar!!!!
lg
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Setz mal den Vektor in die Abbildung f ein. Was kommt da heraus? Was sollte nach deiner Lösung heraus kommen?
 
 
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Ups, schlimmer Denkfehler....

Der Vektor müsste natürlich lauten
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
das gleich nochmal mit dem neuen Vektor...
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Mann oh mann, tut mir Leid für meine blöden Rechenfehler

Ich hab wohl schon in meiner Abbildungsmatrix einen Fehler, weil wenn ich da Einsetz kommt wohl der 0-Vektor heraus, aber wenn ich in die Funktion einsetze nicht, sorry fürs vorschnelle posten, ich verusch alles nochmal sauber durchzurechnen sowie durchzudenken, und meld mich dann wieder!
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
So, ich hab jetzt als Vektor

Und meine Abbildungsmatrix müsste dann ja auch lauten:

Ich hab irgendwie das Gefühl, dass ich da noch immer irgendwas falsch verstehe, bzgl Abbildungsmatrix...
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Das sieht gut aus. Damit hast also den Kern. Was ist das Bild von f?
Wie habt ihr in der VO den Faktorraum definiert?
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Das Bild von f ist gleich den linear unabhängigen Spalten, d.h. in diesem Fall ist

.


Wir haben den Faktorraum in der VO als Partition, d.h. Die Elemente vom Faktorraum sind wenn ich das richtig verstanden habe Äquivalenzklassen, also Mengen...

Die Relation sieht wie folgt aus:
W Unterraum


So, das heisst jetzt für unseren Unterraum ker(f) ja

So, und jetzt bin ich mir so gar nicht mehr sicher...heisst das nicht, dass dann alle x in liegen, für welche ?

Edit: Mein Letzter Satz ist natürlich Blödsinn, das heisst im Prinzip, dass alle Elemente, die im Kern liegen, zur Äquivalenzklasse 0 zusammengefasst werden, oder? Also in V/ker(f) besteht der Kern nur aus der Äquivalenzklasse 0, oder?
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Im(f) ist richtig. Du hättest alternativ auch mit der Dimension argumentieren können und genauso erhalten.

Richtig, die Elemente des Faktorraums sind Äquivalenzklassen, also Mengen.
Richtig ist auch, dass alle Elemente, die in ker(f) liegen, zur Äquivalenzklasse 0 zusammengefasst werden.

Wie sieht die Äquivalenzklasse eines beliebigen bzgl. der Relation aus?
Weißt du schon, dass der Faktorraum wieder ein Vektorraum ist?
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
So, jetzt sind wir aber wirklich an dem Punkt angekommen, wo ich nur noch interpretieren kann, und hoffen, dass meine Überlegungen Sinn machen...

Wir haben in der Vo zwar nicht alle Axiome durchbewiesen, aber es steht drin, und dass dies der Fall ist, ist für mich auch noch verständlich.

Schwieriger wirds schon, wenn ich mir die Äquivalenzklasse eines beliebigen x Ansehe...

ist dann ja , wenn , oder? d.h. dass in im Prinzip jeder Vektor, der nicht im Kern liegt, seine eigene Äquivalenzklasse hat? Weil ja in nur x-x den Nullvektor ergeben kann?
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Das stimmt nicht, denn die Differenz y-x muss doch nicht den Nullvektor ergeben sondern ein Element von ker(f).
D.h. es muss ein geben mit y-x=w. Das wiederum heißt
Kannst du jetzt nachvollziehen, dass ist?
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Ahhh ja das macht natürlich Sinn, ich hab nicht daran gedacht, dass der Kern bei einer ganz allgemeinen Abbildung ja nicht nur den 0-Vektor enthalten muss...

Ich glaube, ich verstehe nun was damit gemeint ist, heisst das dann, dass diese Äquivalenzklassen sowas in der Art wie affine Unterräume zu ker(f) sind? also sind quasi alle Vektoren in einer Äquivalenzklasse, die den gleichen "Abstand (schlampig formuliert, aber ich weis grad nicht wie ich das anders sagen soll)" zum Kern haben?
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Wenn ich mir das jetzt so überlege, müsste dann nicht die Abbildung, die eine Äquivalenzklasse dem Bild seines Vertreters zuweist, jener Isomorphismus sein?
Also quasi ?
Den Beweis müsste ich natürlich erst anfangen zu überlegen, aber macht die Überlegung so mal Sinn?
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
affiner Unterraum klingt gut Freude hier sind es also affine Geraden im R^3, parallel zur Geraden ker(f), die als einzige durch den Nullpunkt verläuft.
Die Idee für den Isomorphismus klingt auch gut Freude
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Danke hier schonmal, jetzt ist mir schonmal klar, was ein Faktorraum darstellt! smile
Konnte mir vorher nichts darunter vorstellen

Zum Isomorphismus hab ich mir auch schon einige Dinge überlegt, bin mir aber nicht sicher ob dies im Faktorraum auch so funktioniert:
z.z. ist ja Linearität, sowie Bijektivität

1.linear d.h.
analog natürlich mit

2.Bijektiv

a)injektiv....so hier wollte ich gern zeigen, dass der Kern trivial ist, aber ich bin mir nicht sicher, ob meine Überlegungen bzgl Faktorraum stimmen....müsste der Kern im Faktorraum nicht der Kern von f sein? weil ist ja der Kern von f?
Falls ja, wird der Beweis relativ einfach mMn:

Und die letzte Menge ist ja im Prinzip genau die Definition vom Kern von f, oder?

b)surjektiv
Hier weis ich nicht, ob das was ich mir hier aufgeschrieben habe wirklich reicht.
Betrachte ein beliebiges .
Das gilt ja für alle Elemente , also surjektiv? reicht das so?
Falls ja jubiliere ich und widme mich der Anwendung von auf zu, obowohl ich da noch so gar kein Land sehe
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Du musst dir noch überlegen, dass überhaupt wohldefiniert ist (was passiert, wenn du einen anderen Repräsentanten aus der Äquivalenzklasse wählst? Bekommst du dann das gleiche Bild?)
Der Rest sieht schon gut aus.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Hmm, das heisst ich muss noch zeigen, dass ich den Repräsentanten einer Äquivalenzklasse beliebig wählen kann, und trotzdem immer das gleiche Bild erhalte, meinst du das damit?

Ich werd mich mal dahinter setzen und schauen ob ich das schaffe, ich meld mich dann wieder mit einer Idee, danke! smile
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Ja. Ist auch nicht schwer.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
So, zum teil mit wohldefiniert:

Seien ...Dann gibt es also u,v sodass , weil die Äqu.Relation eben so definiert ist.
Jetzt müssen aber u, v eben aus dem Kern sein, weil wir in sind.
Das heisst dann aber, dass und .
D.h. jetzt insgesamt also, dass .

Wäre es das gewesen?
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Die erste Begründung mit u und v finde ich nicht so gelungen. Ich würde es so machen: Wenn , dann gibt es nach Def der Äquivalenzrelation mit y-x=u.
Dann ist auch wieder f(y)=f(x+u)=f(x).
Aber im Grunde ist das Kosmetik.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Ah ok super, besten Dank!

Was mir jetzt halt noch große Probleme bereitet, ist der Teil mit Urbilder als Funktionswert ausgeben...

Ist damit jetzt gemeint, ich soll die Abbildung auf definieren?
Oder ist damit gemeint, dass ich mit der Umkehrabbildung von arbeite, und dann noch mit einer Abbildung, die die Elemente der Äquivalenzklassen dem Element selber zuordnet?
Also quasi zuerst und dann noch eine Abbildung ?

Das ist mir alles noch sehr schleierhaft :/

Ich bin dir für deine Hilfe bis hierher sehr sehr dankbar!!! Also falls du keine Zeit mehr für mich hast, oder dich anderen Problemen widmen möchtest, versteh ich das und bin dankbar.

Aber falls du lust hast mir noch bei dem letzten Teil zu helfen, wär ich natürlich überglücklich, denn ich möchte das vor allem Aufgrund der bevorstehenden Klausur wirklich verstanden haben! Big Laugh
smile
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Ich tippe darauf, dass man mit in Verbindung bringen soll. Zumal ja eine Abbildung gesucht wird, die auf definiert ist.
Wenn dem so ist, dann ist der Teil sehr leicht Augenzwinkern
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Hmm, ist damit evtl gemeint

? so irgendwie in der Art? Also dass ich jedes Urbild mit seiner Äquivalenzklasse identifiziere?

Das kann jetzt irgendwie sicher nicht stimmen, aber ich weis einfach nicht wie ich das was ich meine am besten anschreiben kann...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Zitat:
Original von URL
Ich tippe darauf, dass man mit in Verbindung bringen soll.

existiert aber nicht.
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
@Che Netzer: existiert doch und um nichts anderes geht es hier.
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
@Timbonane: Ja so in der Art. Ich würde mir überlegen, dass ist. Vermutlich erkennst du dann schon, dass ist.
Die gesuchte Abbildung wäre also
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Hmm, ich glaub dann hab ich das richtige gedacht, aber falsch aufgeschrieben..

Meine gesuchte Abbildung wäre dann also:
für


D.h. jedes ?
?
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Deine Gleichung ist ziemlicher Unsinn.
Wie Che Netzer richtig bemerkte, gibt es die Umkehrabbildung nicht, also ist nicht definiert, aber sehr wohl das Urbild .
@Che Netzer: Das war wohl doch nicht so selbstverständlich wie ich dachte unglücklich

Und warum das ganze im Kern von f liegen sollte, ist mir schleierhaft.
Ich vermute, du wolltest so etwas schreiben
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Natürlich ist es kompletter Unsinn =(

mit diesem hab ich gemeint, dass nur das w aus dem Kern kommt, ändert natürlich nichts an meinem Unsinn...

Ich hab einen großen Anfängerfehler gemacht, und aus dem Urbild gleich mal ne Umkehrfunktion gemacht....

D.h. in diesem Fall kann ich die Urbilder konkret nicht bestimmen, aber das gesamte Urbild schon, ja?

so, und auf die Gefahr hin dass ich wieder Blödsinn schreibe: Heisst das dann nicht, dass das Urbild gleich der Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist, also ?

Irgendwie verwirrt mich hier die Angabe ziemlich....
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RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Weil f nicht injektiv ist, kannst du zu einem Element in aller Regel nicht das Urbild angeben, denn es gibt in aller Regel mehrere Elemente , für die f(x)=y ist, d.h. mehrere Urbilder.
Bei nicht injektiven linearen Funktionen gibt es sogar immer einen ganzen (affinen) Unterraum, dessen Elemente Urbilder sind.
Für konkretes y kannst du solche Elemente natürlich angeben. Für y=0 ist es z.B. jedes .
Für sind es alle Vektoren der Form mit

Aber es gibt eben nicht das Urbild von y. Die Menge aller Urbilder notiert man als . Das nennt man dann auch Urbild der Teilmenge .

Siehst du den Unterschied? Einmal ist es das Urbild eines Elements, das andere Mal das Urbild einer Menge.
Das erste gibt es nur bei injektivem f, das zweite ist immer defniert.

Wie du auf die Aussage
Zitat:
Original von Timbonane
Heisst das dann nicht, dass das Urbild gleich der Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist, also ?

kommst, kann ich nicht nachvollziehen.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Faktorraum->Bild
Stimmt natürlich alles und ist auch total einleuchtend....Ich hab da echt einige Sachen total vertauscht...

Aber ich glaube, ich habe jetzt verstanden was gemeint ist, vor allem auch wie ich die Urbild-Mengen angeben kann!

Danke nochmal für die viele Geduld, und die sehr hilf(lehr)reichen Tipps!
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