Epsilon-Delta Kriterium für f(x)=1/x

18.01.2013, 17:13

Knock^3-Penny

Epsilon-Delta Kriterium für f(x)=1/x

Meine Frage:
Hallo,
ich soll mit dem Epsilon-Delta Kriterium zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb R f(x) := \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
stetig ist.

Meine Ideen:
Das ist meine erste Aufgabe mit dem Epsilon-Delta Kriterium. Vllt kann mir jemand sagen ob das Folgende richtig ist.

$\begin{eqnarray*} | f(x)-f(x_{0})| = | \frac{1}{x} -\frac{1}{x_{0} }| = | \frac{x_{0}-x }{x*x_{0} }| < \epsilon \ mit \ \epsilon > 0 \ beliebig \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{x_{0}-x }{x*x_{0} }| < \epsilon \leftrightarrow {|x_{0}-x|}< \epsilon * {|x_{0}*x|} = \epsilon * |x_{0}|*|x| \end{eqnarray*}$

mit:
der Tatsache, dass x maximal
$\begin{eqnarray*} x_{0}+\delta \end{eqnarray*}$
folgt

$\begin{eqnarray*} < \epsilon * |x_{0}|* (|x_{0}|+\delta) := \delta \end{eqnarray*}$

nach Delta auflösen:
$\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon*|x_{0} |*|x_{0} |}{1- \epsilon * |x_{0} |} \end{eqnarray*}$

Muss man da jetzt noch was für Epsilon wählen? Dann könnte man ja einfach 1 nehmen:
$\begin{eqnarray*} \delta = \frac{1*|x_{0} |*|x_{0} |}{1- 1 * |x_{0} |} \end{eqnarray*}$

Hab ich nun ein passendes Delta gefunden?
Ich weiß leider nicht, was ich jetzt mit dem Ergebnis anfange...

18.01.2013, 17:46

zyko

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RE: Epsilon-Delta Kriterium für f(x)=1/x
Du kannst für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ nicht einfach 1 wählen.
Es heißt schließlich "zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ..."
Dies bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängen darf.
Genau diese Abhängigkeit hast du bereits berechnet.

18.01.2013, 17:57

Knock^3-Penny

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RE: Epsilon-Delta Kriterium für f(x)=1/x
aha...
mit dem Epsilon-nicht-wählen klingt logisch.

Generell:
das heißt also, wenn ich bei diesem Vorgehen irgendwann eine Formel der Form
$\begin{eqnarray*} \delta = ... \end{eqnarray*}$ habe, dann ist die Funktion stetig?

19.01.2013, 13:00

zyko

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RE: Epsilon-Delta Kriterium für f(x)=1/x
$\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ muss endlich sein.

19.01.2013, 13:34

Knock^3-Penny

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RE: Epsilon-Delta Kriterium für f(x)=1/x
Ich verstehe jetzt gerade nicht, was mir das sagen soll verwirrt

Mein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist doch endlich, oder??? Wann wäre es denn nicht endlich?

... Aber, wenn $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nicht endlich ist, ist die Funktion nicht stetig?! (Hab noch nie dieses Verfahen bei einer nichtstetigen Funktion gesehen)

19.01.2013, 16:04

Bakatan

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Hier ist ein Logikfehler gemacht worden. Das etwas nicht stimmt, wird bei einem Sanity-Check sehr schnell klar: Nach Wahl wird Delta für sehr einfach zu findende, zugelassene Werte negativ! (und für $\begin{eqnarray*} \epsilon |x_0|=1 \end{eqnarray*}$ sogar undefiniert)

Es wurde zwischenzeitlich vergessen, was eigentlich zu zeigen ist:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left|f(x)-f(x_0)\right|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right|=\left|\frac{x_0-x}{xx_0}\right|<\epsilon\text{ mit }\epsilon > 0\text{ beliebig }\color{red}{\leftarrow\text{zu zeigen!}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |x_0-x|<\epsilon |xx_0|=\epsilon|x||x_0| \end{eqnarray*}$

mit der Tatsache, dass x maximal $\begin{eqnarray*} x_{0}+\delta \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} ... <\epsilon|x_0|(|x_0|+\delta):=\delta \end{eqnarray*}$

Was steht hier eigentlich insgesamt?

$\begin{eqnarray*} |x_0-x|\overset{\color{red}{\text{zu zeigen!}}}{<}\epsilon |xx_0|=\epsilon|x||x_0|\overset{\text{Mit Hilfe von: }|x_0-x|<\delta}{<}\epsilon|x_0|(|x_0|+\delta)\quad\quad\color{blue}{[:=\delta]} \end{eqnarray*}$

edit:
Die Rückdefinition auf Delta ist auch nicht ohne weiteres möglich (es kann sein, dass die Lösung für $\begin{eqnarray*} |x_0-x|<\delta \end{eqnarray*}$ nicht passt, also wir bei der vorherigen Ungleichung ein $\begin{eqnarray*} false\Rightarrow X \end{eqnarray*}$ haben, oder sie gar nicht erst existiert).
end of edit

Wir brauchen aber eigentlich die Abschätzung in genau die entgegen gesetzte Richtung. Bastle also Delta, sodass

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x_0-x}{xx_0}\right|=\frac{|x_0-x|}{|x||x_0|}\overset{(1)}{<}\frac{\delta}{|x_0|(|x_0|-\delta)}\overset{\color{red}{\text{zu zeigen!}}}{<}\epsilon \end{eqnarray*}$

Zeige mit diesem Delta also ausserdem $\begin{eqnarray*} (1):~|x|>|x_0|-\delta>0 \end{eqnarray*}$ , sonst funktioniert die erste Abschätzung nicht (für das >0 braucht man eine Zusatzannahme über Epsilon, spezifischer $\begin{eqnarray*} \epsilon\leq\left|\frac{1}{x_0}\right| \end{eqnarray*}$ . Zwischenfragen: Wieso ist so eine Annahme kein Problem? Wozu brauchen wir das >0?)

Insgesamt wird dann aus dem Minus im Nenner der Wahl von Delta ein Plus und oben erwähntes Problem mit negativem Delta verschwindet auch.

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