Eigenvektoren von Blockmatrizen

18.01.2013, 21:39	akaari	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren von Blockmatrizen Hallo Leute, Die Aufgabe lautet: Gegeben ist eine beliebige Blockdreiecksmatrix $\begin{eqnarray} L=\begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R^{(k\times k)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D\in \mathbb R^{((n-k)\times (n-k))} \end{eqnarray}$ In der ersten Teilaufgabe habe ich gezeigt, dass gilt $\begin{eqnarray} \lambda(L)=\lambda(A)\lambda(D) \end{eqnarray}$ Nun lautet die AUfgabe: Sei jetzt $\begin{eqnarray} \lambda(A) \cap \lambda(D)=\emptyset \end{eqnarray}$ . Weiterhin sei v ein Eigenvektor von D und w ein Eigenvektor von A. Finden Sie Vektoren x und y so, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} y \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigenvektoren von L sind, und bestimmen Sie die zugehörigen Eigenwerte. Okay, hier meine Ideen: Da ich die EW der Einzelnen Matrizen miteinander multipliziere sind einfach alle EW von A und die von D zusammen die EW der Matrix L. Soweit so gut. Nun muss ich aber die Eigenvektoren bestimmen. Dazu stelle ich auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix} = \lambda* \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Weiter komme ich aber nicht, da dies soweit ich weiß alles abhängig von den Einträgen in C ist, von denen aber nichts bekannt ist. Ich habe mir ein Beispiel gemacht, in dem A eine 3x3 und D eine 2x2 Matrix ist, auch dort komme ich zwar auf die Eigenwerte von L, aber nicht auf die Eigenvektoren. Kann mir einer helfen?
19.01.2013, 13:26	akaari	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich freu mich über jede Idee :-)

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