Korrelation und Unabhängigkeit: Normalverteilung

19.01.2013, 10:55

Anahita

Korrelation und Unabhängigkeit: Normalverteilung

Hi

Wenn zwei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{1}, X_{2} \end{eqnarray*}$ gemeinsam normalverteilt sind, so heisst es, folgt aus Unkorreliertheit auch Unabhängigkeit. Diesen Zusammenhang würde ich gerne verstehen.

Als erstes habe ich gelesen, dass $\begin{eqnarray*} X_{1},...X_{n} \end{eqnarray*}$ gemeinsam normalverteilt sind, wenn jede Linearkombination:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}X_{1} + .... + \lambda_{n}X_{n} \end{eqnarray*}$

normalverteilt ist (mit Lambdas aus R..). Ist dies analog zu $\begin{eqnarray*} (X_{1},...X_{n}) \sim N(..) \end{eqnarray*}$ und folgt einfach aus den Eigenschaften der Normalverteilung - oder ist dies eine alternative Definition?
Ich weiss, dass ein skalares Vielfaches einer normalverteilten Zufallsvariable normalverteilt ist und auch die Summen zweier Zufallsvariablen wieder normalverteilt sind..es hat mich aber etwas irritiert, dass man die gemeinsame explizit als Linearkombination darstellt.

Danke

22.01.2013, 09:09

HAL 9000

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RE: Korrelation und Unabhängigkeit: Normalverteilung

Zitat:

Original von Anahita
Als erstes habe ich gelesen, dass $\begin{eqnarray*} X_{1},...X_{n} \end{eqnarray*}$ gemeinsam normalverteilt sind, wenn jede Linearkombination:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}X_{1} + .... + \lambda_{n}X_{n} \end{eqnarray*}$

normalverteilt ist (mit Lambdas aus R..).

Das würde ich eher als Folgerung ansehen - die eigentliche Definition ist doch die hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensi...llgemeiner_Fall

zumindest kenne ich das so. Und im Lichte dieser Definition ist der Beweis der Aussage "unkorreliert --> unabhängig" ziemlich einfach:

Unkorreliert bedeutet, dass die Korrelationsmatrix eine Diagonalmatrix ist. Und wenn dies der Fall ist, lässt sich die Dichte faktorisieren, d.h.

$\begin{eqnarray*} f_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots x_n) = f_{X_1}(x_1)\cdot \ldots \cdot f_{X_1}(x_2) \end{eqnarray*}$

was bei stetig verteilten Zufallsvektoren ein Kriterium für Unabhängigkeit ist.

23.01.2013, 15:23

Anahita

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Hey Hal!

Vielen Dank!

Ich neme an, Korrelationsmatrix = Kovarianzmatrix?

Inwiefern folgt daraus, dass eine Kovarinzmatrix wenn sie eine Diagonalmatrix ist, dass man die gemeinsame Dichte wie du sagst faktorisieren kann?
Dieser Zusammenhang ist mir völlig neu.

Vielen Dank

Anahita

23.01.2013, 15:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Anahita
Ich neme an, Korrelationsmatrix = Kovarianzmatrix?

Nein, das stimmt natürlich nicht, aber zumindest ist die Aussage

"Korrelationsmatrix diagonal" genau dann wenn "Kovarianzmatrix diagonal"

richtig. Insofern hätte ich oben auch "Kovarianzmatrix" schreiben können.

23.01.2013, 15:32

Anahita

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Ok. Dann:

Inwiefern folgt daraus, dass eine Korrelationsmatrix wenn sie eine Diagonalmatrix ist, man die gemeinsame Dichte wie du sagst faktorisieren kann?

23.01.2013, 15:38

HAL 9000

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Na schreib doch mal die Dichte der allgemeinen n-dimensionalen Normalverteilung auf - zunächst allgemein, und dann speziell mit einer Kovarianzmatrix in Diagonalform.

23.01.2013, 17:54

Anahita

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Warum kann man hier nicht mit Mathjax schreiben traurig

Also, die allgemeine Verteilung für eine n-dimensionale Normalverteilung lautet:

$\begin{eqnarray*} f_{X}(x) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}| \Sigma |^{\frac{1}{2}} }*e^{-1/2*(x-\mu)^{T}\Sigma^{-1}(x-\mu)} \end{eqnarray*}$

Nun nutze ich folgende Eigenschaften, falls $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist.:

- Die Determinante ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente
- Die Inverse der Determinante hat auf der Hauptachse die Kehrwerte der Hauptdiagonalelemente der ursprünglichen Matrix (diese kann ich dann mit dem (x-mu) multiplizieren)

Damit kann ich das Ganze tatsächlich so umformen, dass ich Produkte der einzelnen Dichten habe. Vielen Dank!

Zwei Fragen habe ich jedoch:
1. Warum wird in der obigen, allgemeinen Form für die Dichte "(x-mu)^T" geschrieben. Einen Skalar kann man ja nicht transponieren bzw. ist das überflüssig.

2. Bevor ich die Frage hier gestellt habe habe ich natürlich nach Beweisen gesucht und alles was ich gefunden habe war (jedenfalls auf den ersten Blick) viel kompliziertes als dieses Vorgehen, siehe zB hier Seite 2 unten: http://www.athenasc.com/Bivariate-Normal.pdf
...warum? Sind das andere Fälle..?

Danke nochmals!
A

23.01.2013, 18:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Anahita
1. Warum wird in der obigen, allgemeinen Form für die Dichte "(x-mu)^T" geschrieben. Einen Skalar kann man ja nicht transponieren bzw. ist das überflüssig.

Im Fall $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ ist das kein Skalar: Sowohl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionaler Vektoren - Spaltenvektoren, um genau zu sein, und deswegen ist für die Matrixmultiplikation auch links eine Transponierung nötig, d.h. $\begin{eqnarray*} (x-\mu)^T \end{eqnarray*}$ ist dann ein Zeilenvektor der Dimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und erst das gesamte Produkt $\begin{eqnarray*} (x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu) \end{eqnarray*}$ dann eine reelle Zahl.

Zitat:

Original von Anahita
2. Bevor ich die Frage hier gestellt habe habe ich natürlich nach Beweisen gesucht und alles was ich gefunden habe war (jedenfalls auf den ersten Blick) viel kompliziertes als dieses Vorgehen, siehe zB hier Seite 2 unten: http://www.athenasc.com/Bivariate-Normal.pdf
...warum? Sind das andere Fälle..?

Nein.

23.01.2013, 18:46

Anahita

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Alles klar - vielen Dank!

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