Partialbruchzerlegung und Gleichung mit 3 Unbekannten

19.01.2013, 14:32

fbausc

Partialbruchzerlegung und Gleichung mit 3 Unbekannten

Hallo,

ich muss folgenden Integral lösen mit Partialbruchzerlegung:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{4x^{2}-9x+11}{(x-1)^{2}(x+2)} \, dx = \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x+2)} \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt mit *(x-1)^{2}*(x+2) multipliziere, dann bekomm ich
$\begin{eqnarray*} 4x^{2}-9x+11 = A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

soweit passt das jetzt. Jetzt hab ich aber eine Gleichung mit 3 Unbekannten.
Nur wie löse ich die am Besten? Meine erste Idee wäre mit Gauss, nur wie muss ich die aufstellen!
Ist schon eine Weile her, wo ich dass das letzte mal gemacht habe.
Kann mir jemand ein Denkanstoß geben?
Danke!

19.01.2013, 14:37

Mystic

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RE: Partialbruchzerlegung und Gleichung mit 3 Unbekannten
Alte "Schulmeister" würden dir da bestimmt zu "Koeffizientenvergleich" raten, was ich persönlich ganz schlecht finde... geschockt

Setze einfach die Pole x=1 und x=-2 ein und hol dir noch einen Zusammenhang zwischen A, B und C durch Vergleich der Leitkoeffizienten oder der konstanten Koeffizienten...

19.01.2013, 14:58

fbausc

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Ähm, wie jetzt?

Ich hab jetzt für x=1 eingesetzt und nach A aufgelöst, dann bekomm ich
$\begin{eqnarray*} 6-B=A \end{eqnarray*}$

dann hab ich für x=-2 eingesetzt und nach C aufgelöst und bekomme[
$\begin{eqnarray*} \frac{7+A}{3}=C \end{eqnarray*}$

Ja und dann das Ergebnis gekommen und A eingesetzt und nach B umgestellt:
$\begin{eqnarray*} \frac{13}{3}-C=B \end{eqnarray*}$

Ja und nun? Oder ist das quatsch so?

19.01.2013, 15:39

Mystic

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Zitat:

Original von fbausc
Ähm, wie jetzt?

Ich hab jetzt für x=1 eingesetzt und nach A aufgelöst, dann bekomm ich
$\begin{eqnarray*} 6-B=A \end{eqnarray*}$

Wie das? Ich komme da auf 6=3B ... geschockt

Zitat:

Original von fbausc
dann hab ich für x=-2 eingesetzt und nach C aufgelöst und bekomme[
$\begin{eqnarray*} \frac{7+A}{3}=C \end{eqnarray*}$

Auch hier komme ich auf ganz was anderes, nämlich

45=9C

Zitat:

Original von fbausc
Ja und nun? Oder ist das quatsch so?

Da geb ich dir recht... Ist allerdings nicht meine Schuld, bei dem was du da aufführst... unglücklich

19.01.2013, 16:43

fbausc

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Ich pfeife, hab mich völlig verhauen.

Ich komm wie du jetzt auf

B=2
C=5.

Und jetzt? Setzt ich jetzt für B & C die Werte ein? Was mach ich dann mit dem X weiter?
Steh grad voll auf dem Schlauch unglücklich

19.01.2013, 20:39

Mystic

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Wie es weitergeht (oder besser gesagt weitergehen könnte) habe ich ja oben schon angegeben, also einfach nur nachlesen, es steht immer noch da...

20.01.2013, 15:35

fbausc

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Ja, das sagt mir grad leider nicht viel unglücklich

Würde das gehen wenn ich für x=0 einsetze?

20.01.2013, 21:51

Mystic

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Es gibt drei Möglichkeiten, noch eine(!) weitere Gleichung für A, B und C zu gewinnen:

1. Die bereits oben angegebene, nämlich Koeffizientenvergleich (am besten eignen sich natürlich die Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} x² \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ ) ...

2. Einsetzen einer Nichtpolstelle, z.B. x=0...

3. Ableiten von beiden Seiten der Gleichung und dann erneutes Einsetzen des Pols x=1...

Am besten du probierst alle drei aus, dann hast du auch gleich jeweils eine nette Probe... Augenzwinkern

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