Ln Funktion Grenzwert

19.01.2013, 16:17	simon8030	Auf diesen Beitrag antworten »
Ln Funktion Grenzwert Meine Frage: Hey habe folgende Funktion: f(x) = ln(2n^n) - ln(n^1/2) _________________ ln(3n^2n) + ln(n^1/2) nun muss ich den Grenzwert gegen unendlich heraus finden. Hätte vielleicht jemand eine Idee, wie ich die Funktion zunächst einmal vereinfach könnte? VG Meine Ideen: Für x -> unendl. gilt ln x / x^a = 0 Zunächst mein Versuch die Funktion zu vereinfachen f(x) = 2ln(2) + 2nln(n) - ln(n) __________________________ 2ln(3) + 2nln(n) + ln(n) soweit so gut... jedoch komme ich hier noch nicht weiter. ln ist eine stetige Funktion, dh ich könnte den Limes hineinziehen, jedoch müsste ich höchstwarscheinlich auf ein ln in dem gesamt Ausdruck kommen oder? Bräuchte ein paar Ideen um weiter zu kommen :/
17.11.2021, 21:59	erwiwo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ln Funktion Grenzwert Hallo, sowohl Zähler als auch Nenner der Funktion gehen gegen unendlich. Bei unendlich / unendlich muss man nach der Regel von l'Hospital den Zähler und den Nenner differenzieren. Es ergibt sich erneut undendlich / unendlich, also ist l'Hospital wiederum anzuwenden. ln(2n^n)-ln(n^(1/2) ----------------------------- --- d/dn -> ln(3n^(2n))+ln(n^(1/2) ln(n)+1-1/(2n) --------------------------- --- d/dn -> (4n*ln(n)+4n-1)/(2n) 1/n + 1/(2n²) ------------------- = (4n-1)/(2n²) 4 2n+1 ------ => lim = 1/2 4n+1
17.11.2021, 22:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowohl Fragesteller als auch Helfer möchte ich doch ans Herz legen, das am Board verfügbare LaTeX für derart komplexe Formeln zu verwenden - ergibt einfach besser lesbare Formeln. Hier scheint wohl $\begin{eqnarray} a_n = \frac{\ln\left(2n^n\right)-\ln\left(n^{\frac{1}{2}}\right)}{\ln\left(3n^{2n}\right)+\ln\left(n^{\frac{1}{2}}\right)} \end{eqnarray}$ gemeint gewesen zu sein (bitte "Zitat"-Button verwenden um zu sehen, wie ich das geschrieben habe). Zum fachlichen: Hier L'Hospital zu verwenden ist wie mit Kanonen auf Spatzen schießen: Die Logarithmen vereinfacht und den dominanten Faktor $\begin{eqnarray} n\ln(n) \end{eqnarray}$ in Zähler wie Nenner ausgeklammert und weggekürzt ist man praktisch am Ziel: $\begin{eqnarray} a_n = \frac{\ln(2) + n\ln(n)-\frac{1}{2}\ln(n)}{\ln(3) + 2n\ln(n)+\frac{1}{2}\ln(n)} = \frac{1-\frac{1}{2n}+\frac{\ln(2)}{n\ln(n)}}{2+\frac{1}{2n}+\frac{\ln(3)}{n\ln(n)}} \to \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ .
17.11.2021, 22:13	erwiwo	Auf diesen Beitrag antworten »
@ HAL 9000 Verzeihung, ich hatte den Formeleditor zuerst übersehen. Ich werde Ihn in Zukunft natürlich benutzen.
17.11.2021, 22:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlich Willkommen im Board! (Hatte ich oben unhöflicherweise vergessen)

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